Question

Calcule o domínio, a imagem e a expressão da função inversa de f(x)√¯-5x+10-6

Answer 1

     •   Função:  $f(x)=\sqrt{-5x+10}-6$

     •   Domínio: A restrição que temos é que o radicando (termo dentro da raiz quadrada) não pode ser negativo:

     $-5x+10\ge 0\\\\ 10\ge 5x\\\\ \dfrac{10}{5}\ge x\\\\ 2\ge x\\\\ x\le 2$


     O domínio é o conjunto

     $D=\{x\in \mathbb{R}:~~x\le 2\}$


     ou usando a notação de intervalos,

     $D=(-\infty,\,2].$


     •   Imagem:  Para todo  x ≤ 2,

     $\sqrt{-5x+10}\ge 0\\\\ \sqrt{-5x+10}-6\ge -6\\\\ f(x)\ge -6$


     Logo, o conjunto imagem é

     $\mathrm{Im}(f)=\{y\in \mathbb{R}:~~y\ge -6\}$


     ou usando a notação de intervalos,

     $\mathrm{Im}(f)=[-6,\,+\infty).$


     •   Achando a lei da função inversa:

     Não é difícil mostrar que $f$ é injetora. Logo, se tomarmos o conjunto imagem como sendo o contradomínio, garantimos a existência da inversa.

     Lembremos que a composição de  $f$  com a sua inversa sempre resulta na função identidade, e a inversa é única. Logo, sendo  $f^{-1}$  a função inversa procurada, temos que

   $(f\circ f^{-1})(x)=x\\\\ f\big[f^{-1}(x)\big]=x\\\\ \sqrt{-5\cdot f^{-1}(x)+10}-6=x\\\\ \sqrt{-5\cdot f^{-1}(x)+10}=x+6\\\\ -5\cdot f^{-1}(x)+10=(x+6)^2\\\\ -5\cdot f^{-1}(x)=(x+6)^2-10\\\\ f^{-1}(x)=\dfrac{(x+6)^2-10}{-5}\\\\\\ f^{-1}(x)=\dfrac{(x+6)^2}{-5}+\dfrac{-10}{-5}$

     $f^{-1}(x)=2-\dfrac{(x+6)^2}{5}\quad\longleftarrow\quad\textsf{lei da inversa.}$

     com  x ≥ − 6.


Bons estudos! :-)