Question

Estou com dúvidas em relação a dois enunciados de matemática aparentemente semelhantes, mas não tenho certeza se implicam em resultados diferentes.
Deseja-se arrumar em uma estante 4 livros de matemática, 3 de química e 5 de português. Quantas são as possibilidades de arrumação se:
a. Não houver restrições?b. Os livros de uma mesma matéria permanecerem juntos?
Deseja-se arrumar em uma estante 4 livros de matemática, 3 de química e 5 de português, todos diferentes. Quantas são as possibilidades de arrumação se os livros de uma mesma matéria permanecem juntos?
Estou incerta de como resolver pois não sei se ao dizer "todos diferentes" no segundo enunciado principal há alguma diferença relevante. Obrigada

Answer 1

$Boa \ tarde!$

$N\~ao \ podemos \ considerar \ os \ livros \ da \ mesma \ mat\'eria \ iguais! \\ (Note \ que \ isso \ seria \ uma \ restri\c{c}\~ao \ imposta \ por \ n\'os.)$

$Por \ isso, \ consideremo-os \ diferentes. \\ \\ Temos \ uma \ \bold{permuta\c{c}\~ao \ sem \ repeti\c{c}\~ao}.$

$P_{_{(n)}} \ = \ n! \ \rightarrow \\ \\ P_{_{(n)}} \ \rightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ n\~ao \ repetidos.$

$\bold{1 \ -} \ Temos \ (4 \ + \ 3 \ + \ 5) \ = \ 12 \ livros \ no \ total. \\ \\ \bold{a)} \ Sem \ restri\c{c}\~oes, \ podemos \ simplesmente \ permutar \ os \ 12 \ livros \\ livremente. \\ \\ Resposta \ : \ P_{_{(12)}} \ = \ \boxed{\boxed{12! \ formas \ diferentes}}$

$\bold{b)} \ Sempre \ que \ se \ falar \ de \ \bold{'permanecerem \ juntos'}, \\ lembre-se \ da \ \bold{t\'ecnica \ dos \ grupos};$

$Para \ garantir \ que \ os \ livros \ da \ mesma \ mat\'eria \ permane\c{c}am \ juntos, \\ vamos \ separ\'a-los \ em \ grupos. \\ \\ Temos \ o \ grupo \ M \ (matem\'atica), \ Q \ (qu\'imica) \ e \ P \ (portugu\^es).$

$Veja \ que \ s\~ao \ 3 \ grupos \ que \ podem \ ser \ permutados \ entre \ si \\ (ou \ seja, \ antes \ de \ colocarmos \ os \ livros \ em \ si, \ temos \ certas \ formas \\ de \ escolhermos \ qual \ dos \ grupos \ ficar\'a \ na \ ponta \ esquerda, \ o \ do \ meio \\ e \ o \ da \ ponta \ direita).$

$Ao \ escolhermos \ a \ ordena\c{c}\~ao \ de \ cada \ grupo, \ vamos \ simplesmente \\ colocar \ os \ livros \ no \ espa\c{c}o \ onde \ foram \ desginados. \\ Mas \ para \ isso, \ podemos \ permutar \ os \ livros \ dentro \ dos \ limites \\ determinados. \\ Por \ fim, \ como \ \'e \ um \ \bold{racioc\'inio \ em \ sequ\^encia}, \ \bold{regra \ do \ E} \ \longrightarrow$

$\underbrace{P_{_{(3)}}}_{Grupos \ M, \ Q \ e \ P} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{P_{_{(4)}}}_{Livros \ de \ M} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{P_{_{(3)}}}_{Livros \ de \ Q} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{P_{_{(5)}}}_{Livros \ de \ P} \ \rightarrow \\ \\ \\ \\ 3! \ \cdot \ 4! \ \cdot \ 3! \ \cdot \ 5! \ \rightarrow \\ \\ 3! \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 3! \ \cdot \ 3! \ \cdot \ 5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 3! \ \rightarrow$

$Resposta : \ \boxed{\boxed{3!^4 \ \cdot \ 4^2 \ \cdot \ 5 \ maneiras \ diferentes}}$