Question

A soma de quatro termos consecutivos de uma PA é - 6, o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determinar esses termos.

(-9, -4, 1, 6)


(-9, -3, 0, 5)


(-10, --5, 1, 5)


(-8, -5, 1, 7)


(-6, -4, 1, 9)

Answer 1

Vamos chamar o primeiro termo da PA de x e a razão de r. Temos que:
a1 = x
a2 = x + r
a3 = x + 2r
a4 = x + 3r
A soma deles dá -6:
x + (x+r) + (x+2r) + (x+3r) = -6
4x + 6r = -6 <=> 2x + 3r = -3 (guarda essa equação *)
O produto do primeiro termo pelo quarto é -54:
a1.a4 = -54
x(x + 3r) = -54 (**)
Agora vamos montar o sistema 2x2 com as equações (*) e (**):

2x + 3r = -3 <=> r = (-3 - 2x)/3
x(x+3r) = -54 <=> x² + 3rx = -54

x² + 3((-3 - 2x)/3) x = -54
x² + (-3 - 2x)x = -54
x² - 3x - 2x² = -54
-x² - 3x = -54
x² + 3x - 54 = 0
S = -3
P = -54
x' = 6
x'' = -9
Bom, essas são nossas opções para o primeiro termo. Como não tem nenhuma opção para x = 6, temos que nosso a1 vale -9. Agora vamos substituir o valor de x em alguma das equações para obter a razão:

r = (-3 - 2x)/3
r = (-3 -2(-9))/3 = (-3 + 18)/3 = 15/3 = 5
Se a1 = -9 e r = 5:

a2 = a1+r = -9+5 = -4
a3 = a2+r = -4+5 = 1
a4 = a3+r = 1+5 = 6

PA: {-9,-4,1,6}
De fato, -9+(-4)+(1)+(6) = -9 - 4 + 1 + 6 = -13 + 7 = -6
-9.6 = -54
Então, alternativa A.