Question

Não consigo entender sistema com equação de segundo grau
Me ajudem por favor diga o porquê que de isso/aquilo.

Apartir do exercício,e porfavor sem usar produtos notáveis.

Answer 1

Olá.

Um sistema de equações existe porque são informações que se relacionam entre si. Assim, uma equação ajuda a resolver a outra. Por isso estão agrupadas num sistema.

Para resolvê-lo, basta achar uma das variáveis. Ela será aplicada na outra equação para descobrir a outra variável que falta. Assim, por exemplo, se encontrarmos y, podemos descobrir quanto vale x. Basta que escrevamos o valor de x de forma que apareça apenas o valor de y.

a)
2x +y = 5
x² -y² = 8


2x +y = 5 ==> y = 5-2x

x² - y² = 8
x² - (5-2x)² = 8

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Bom, aí apareceu um produto notável. Um jeito de resolvê-lo e conhecer qual ele é e usar a fórmula prática. Mas tem outro jeito também, que não é resumidinho. É aplicar a multiplicação passo a passo entre os termos. Essa multiplicação passo a passo é chamada de "operação distributiva" (famoso "chuveirinho") porque distribui todos os termos entre si.

Vou fazer aqui dos dois jeitos, para você pegar a ideia.

I) POR PRODUTOS NOTÁVEIS:

(5 -2x)² é do tipo (a-b)² = a² -2ab +b². É só aplicar essa fórmula.
a = 5 e b = 2x

Então:
(5-2x)² = (5)² -2(5)(2x) + (2x)² = 25 -20x +4x²


II) PELA OPERAÇÃO DISTRIBUTIVA:

Aqui nós temos que encontrar o produto. Se está elevado ao quadrado, quer dizer que está multiplicado por si mesmo! ^^)

(5-2x)² = (5-2x)(5-2x) = (5)(5) + (5)(-2x) + (-2x)(5) + (-2x)(-2x) =
= 25 -10x -10x +4x² = 25 -20x +4x²

Pronto. Deu o mesmo resultado, só que da forma comum, mais lenta. O que se chama de produto notável é o resumo dos cálculos.

Voltando...

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x² - (5-2x)² = 8
x² - (25 -20x +4x²) = 8
x² -25 +20x -4x² = 8
-3x² +20x -25 -8 = 0
-3x² +20x -33 = 0

Achamos a equação geral, do segundo grau. Ela só está escrita em x. Achando x, pegamos esse valor (ou valores) e voltamos lá no começo, onde y está escrito só na forma de x. Assim, achamos y. Vamos lá. Bháskara nela.

-3x² +20x -33 = 0
Δ = b² -4ac = (20)² -4(-3)(-33) = 400 -396 = 4
x = (-b ±√Δ)/(2a) = (-20 ± √4) / [2(-3)] =  (-20 ± 2) / (-6)
x = (10 ± 1) / 3

Portanto, 

x' = (10+1)/3 = 11/3

x" = (10-1)/3 = 9/3 = 3

Oba! Achamos x. Ele tem dois valores por causa do sinal "mais ou menos".
Agora vamos encontrar y. Lá em cima já temos o começo: y = 5-2x.

I)  $y = 5 - 2 \frac{11}{3} = 5- \frac{22}{3} = \frac{15-22}{3} = \frac{-7}{3}$

II) y = 5-2(3) = 5-6 = -1

Conseguimos as respostas. E são duas:

Quando x = 11/3, y = -7/3

Quando x = 3, y = -1.

A ideia é a mesma para qualquer resolução de equações de 2º grau.

Bons estudos.