Question

Um professor de matemática tem uma turma com 48 alunos. A fim de evitar que os alunos colem, ele monta 48 provas diferentes, cada uma contendo 22 questões com 4 alternativas. Intrigado, o professor resolve calcular qual a probabilidade de todos os gabaritos serem iguais, supondo que a distribuição das alternativas corretas é totalmente aleatória. Após algumas contas, ele encontrou que a probabilidade era de :

a) 1/(4^48)
b) 1/(4^1034)
c) 1/(4^22)
d) 1/(4^47)
e) 1/(4^1056)

A resposta é letra B

Answer 1

Boa tarde!

Nessa questão, queremos calcular a probabilidade de que variáveis aleatórias assumam valores idênticos. Para resolver, vamos considerar um caso mais simples. Vamos supor que cada uma das 48 provas tem apenas uma questão. Depois, generalizamos para o caso onde existem 22 questões em cada prova. A solução é bastante simples.

Começando pela primeira questão da primeira prova. O professor sorteia aleatoriamente uma das quatro alternativas A, B, C ou D. A probabilidade de que a resposta dessa questão na segunda prova seja idêntica à primeira é de:

$P=\frac{1}{4}$

A probabilidade de que a terceira prova tenha a mesma resposta das duas primeira é o produto da probabilidade de que as provas 1 e 2 tenham a mesma resposta pela probabilidade de que as provas 1 e 3 tenham a mesma resposta. Isso porque sempre que temos eventos relacionados (não independentes), multiplicamos as probabilidades. Assim, para a terceira prova, temos

$P=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4^2}$

Agora, considerando as 48 provas, a probabilidade de que todas tenham a mesma resposta para a primeira questão é:

$P=\frac{1}{4}\cdot...\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4^{47}}$

Note o expoente que é igual ao número de provas menos um! Pois a igualdade entre soluções a questões é sempre considerada aos pares (pares de provas).

Agora, vamos generalizar o resultado anterior para o número de questões dado. A probabilidade de que a primeira e a segunda questão de todas as provas sejam idênticas é:

$P=\frac{1}{4^{47}}\cdot\frac{1}{4^{47}}=\frac{1}{4^{(2*47)}}=\frac{1}{4^{94}}$

Para a primeira, a segunda e a terceira questão com repostas idênticas temos:

$P=\frac{1}{4^{47}}\cdot\frac{1}{4^{47}}\cdot\frac{1}{4^{47}}=\frac{1}{4^{(3*47)}}=\frac{1}{4^{141}}$

Agora, se considerarmos as 22 questões, temos:

$P=\frac{1}{4^{47}}\cdot{...}\cdot\frac{1}{4^{47}}=\frac{1}{4^{(22*47)}}=\frac{1}{4^{1034}}$ ,

como queríamos demonstrar.