Question

Posso dizer que dada uma sequência [\tex] u_n \to u [\tex] , então [\tex] \nabla u_{n}(x) \nabla u (x) [\tex] ?

Answer 1

Novamente, vou inserir a linguagem tex por tratar-se de matemática avançada.

A resposta é sim. Veja o teorema

Seja $a$ uma função de Carathéodory de $\R^N\times\R\times\R$ em $\R^N$ satisfazendo a condição usual de créscimento Leray-Lions e condição de monotonicidade. Seja $(u_n)_n$ uma sequência limitada de $W_{loc}^{1,p}(\R^N)=\{v\in L_{loc}^{p}(R^N): |\nabla v|\in L_{loc}^{p}(\R^N)\}$, com $1<p<+\infty$, $(f_n)$ é uma sequência limitada de $L_{loc}^{1}(\R^N)$ e $(g_n)$ uma sequência de $W_{loc}^{-1,p'}(\R^N)$ tende fortemente a zero. Assuma que $(u_n)$ satisfaz: $$\dis\int_{\R^N}a(x,u_n(x),\nabla u_n(x))\nabla vdx=\dis\int_{\R^N} f_nvdx+\langle g_n,v\rangle,$$ para $v\in \{v\in W^{1,p}(\R^N): v\;\mbox{com suporte compacto}\}$, $v$ limitado. Então:

\begin{itemize}
\item[(1)] Existe uma função $u$ tal que $u_n(x)\to u(x)$ q.t.p em $\R^N$;
\item[(2)] $u\in W_{loc}^{1,p}(\R^N)$;
\item[(3)] Existe uma subsequência, digamos $(u_n)$, tal que $\nabla u_n(x)\to \nabla u(x)$ q.t.p em $\R^N$.
\end{itemize}

Answer 2

Sim. Para entender mellhor
vc precisa ter conhecimento de espaços de sobolev.