Question

Determine a taxa de variação $\frac{dy}{dx}$ no ponto dado:

Por favor, usar LaTeX para ficar mais legível e fazer o mais detalhado possível, pois quero aprender. Se quiser fazer em um papel e tirar foto..

Answer 1

Oi amigo. Vamos aplicar uma propriedade de logaritmos naturais e depois derivar:

$\displaystyle \mathsf{y=\sqrt{1-x}} \\ \\ \\ \mathsf{\ln (y)=\ln (1-x)^{1/2}} \\ \\ \\ \mathsf{\ln (y)=\frac{1}{2} \cdot \ln (1-x)} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{1}{y} \, \frac{dy}{dx}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-x} \cdot (1-x)'} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{1}{y} \, \frac{dy}{dx}= \frac{1}{2} \cdot ( -\frac{1}{1-x})} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{1}{y} \, \frac{dy}{dx}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1}} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{1}{y} \, \frac{dy}{dx}= \frac{1}{2x-2}}$

A tarefa agora é isolar a notação dy/dx:

$\displaystyle \mathsf{\frac{1}{y} \, \frac{dy}{dx}= \frac{1}{2x-2}} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle \frac{1}{2x-2}}{\displaystyle \frac{1}{y}}} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{dy}{dx}=y \cdot \frac{1}{2x-2}} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{dy}{dx}= \sqrt{1-x} \cdot \frac{1}{2x-2}} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-x}}{2x-2}} }}$

E a taxa de variação em x = - 3 será:

$\displaystyle \mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-x}}{2x-2}} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-(-3)}}{2 \cdot (-3)-2}} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{4}}$