Question

Utilizando dados históricos, a prefeitura de uma cidade elaborou uma função exponencial que representa o crescimento da população local a partir de 1970, dada por:
P(t) = 35,12 . (1,054)t

Sendo P(t) a população em milhares de pessoas e t o tempo em anos, contando 1970 como t=0. Determine a taxa de crescimento da população desta cidade para 2015. Assinale a alternativa correta:


A taxa de crescimento da população em 2015 é de aproximadamente 19692 pessoas/ano.


A taxa de crescimento da população em 2015 é de aproximadamente 15782 pessoas/ano.


A taxa de crescimento da população em 2015 é de aproximadamente 10327 pessoas/ano.


A taxa de crescimento da população em 2015 é de aproximadamente 22138 pessoas/ano.


A taxa de crescimento da população em 2015 é de aproximadamente 26550 pessoas/ano.

Answer 1

Bom dia!

Lembrando que taxa de variação de uma função é a derivada da função, precisamos encontrar a derivada da função dada e calcular o seu valor para o ano de 2015 a fim de encontrarmos a resposta.

Bom, a função dada é uma função exponencial. A derivada de uma função exponencial qualquer é dada por:

$\frac{\text{d}a^x}{\text{d}x}=\text{ln}(a)\cdot{a}^x$

Assim, para a função dada, temos:

$\frac{\text{d}P(t)}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[<span>35,12\cdot{(1,054)^t}\right]$
$\frac{\text{d}P(t)}{\text{d}t}=35,12\cdot\frac{\text{d}}{\text{d}t}{(1,054)^t}$
$\frac{\text{d}P(t)}{\text{d}t}=35,12\cdot\text{ln}(1,054)\cdot{(1,054)^t}$

Com isso, já temos a derivada da função. Agora, em 2015, temos

$t=2015-1970=45\,anos$

Utilizando a derivada calculada, temos:

$\left.\frac{\text{d}P(t)}{\text{d}t}\right|_{t=45}=35,12\text{ln}(1,054)\cdot{(1,054)^{45}}$
$\left.\frac{\text{d}P(t)}{\text{d}t}\right|_{t=45}=19,692$

Como a função é dada em milhares de pessoas, temos que o valor acima corresponde a 19692 pessoas por ano. Assim, a primeira alternativa é a correta.