Question

lim 2x² + 15
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x -> oo x + 1

Answer 1

Aplique a regra de L'Hospital :

Como f (x)= 2x^2+15 tende ao infinito quando x tende ao infinito e g (x)= x+1 tende também ao infinito. Derive as funções f e g, então

f'=4x e g'=1

Quando x tende ao infinito

f'/g' tende ao infinito.

Logo o limite original tende ao infinito.

Answer 2

Calcular o limite da função:

     $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2x^2+15}{x+1}$


Coloque a potência de  x  que apareça com maior expoente no numerador e no denominador em evidência:

     $\displaystyle=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2\cdot (2+\frac{15}{x^2})}{x\cdot (1+\frac{1}{x})}\\\\\\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x}\cdot \frac{2+\frac{15}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}\\\\\\ =\lim_{x\to +\infty} x\cdot \frac{2+\frac{15}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}\qquad\quad\mathbf{(i)}$


Ora, sabemos que

     •   $\lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty\qquad\quad\mathbf{(ii)}$

     •   $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2+\frac{15}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}$

         $=\dfrac{2+0}{1+0}\\\\\\ =2>0\qquad\quad\mathbf{(iii)}$


Dessa forma, o limite  (i)  é o limite do produto de uma função que tende a  +∞  por outra que tende a um valor finito positivo. Logo, conclui-se que

     $\lim\limits_{x\to +\infty} x\cdot \dfrac{2+\frac{15}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}=+\infty$

     $\therefore~~\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2x^2+15}{x+1}=+\infty\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)