Question

Calcule o valor de K de modo que a função f (x) =8x²-8x-2k não trnha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

Answer 1

Calcule o valor de K de modo que a função f (x) =8x²-8x-2k não trnha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.
f(x) = 8x² - 8x - 2k    ( igualar a função em ZERO)
8x² - 8x - 2k = 0
a = 8
b = - 8
c = - 2k
Δ = b² - 4ac
Δ = (-8)² - 4(8)(-2k)
Δ = + 64 + 64k

PARA que NÃO possui PONTO no eixo (x) abscissa (Δ < 0)
Δ<0
64 + 64k < 0
64k < - 64
k < - 64/64
k < - 1   ( resposta)    

Answer 2

✅ Após de resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" que deixa a função quadrática sem raízes reais é:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf k < -1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função do segundo grau:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 8x^{2} - 8x - 2k\end{gathered}$

Dividindo todos os coeficientes por "2", obtemos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 4x^{2} - 4x - k\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                         $\Large\begin{cases} a = 4\\b = -4\\c = -k\end{cases}$

Para que o gráfico da referida função não possua pontos comuns ao eixo das abscissas, isto é, não possuas raízes reais, o valor de seu discriminante - delta - deve ser menor que "0". Então, temos:

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \Delta < 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} b^{2} - 4ac < 0\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-4)^{2} - 4\cdot4\cdot(-k) < 0\end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16 + 16k < 0\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16k < -16\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -\frac{16}{16}\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -1\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do parâmetro "k" é:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} k < -1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$