Question

Seja a função f:[-a,a] em R (a>0) uma função ímpar contínua.Mostre que a seguinte função é par. F9x) = integral de z a zero f(t)dt, z pertence [-a,a]

Answer 1

Queremos ver se a função a seguir é par:

$\displaystyle F(t)=\int_z^0f(t)\,dt$

Isto é, queremos verificar se $F(t)=F(-t)$. Assim, vamos calcular $F(-t)$:

$\displaystyle F(-t)=\int_z^0f(-t)\,d(-t)\\\\ F(-t)=-\int_z^0f(-t)\,dt$

Porém, $f(t)$ é uma função ímpar, isto é, $f(t)=-f(-t)\Longrightarrow f(-t)=-f(t)$. Substituindo na equação obtida anteriormente:

$\displaystyle F(-t)=-\int_z^0f(-t)\,dt\\\\ F(-t)=-\int_z^0[-f(t)]\,dt\\\\ F(-t)=\int_z^0f(t)\,dt$

Portanto: $\boxed{F(t)=F(-t)}~~~\blacksquare$