Question

O vetor v é ortogonal aos vetores a = (1, 2, 0) e b = (1, 4, 3) e forma ângulo agudo com o eixo dos x. Determinar v, sabendo que |v|=14

Answer 1

Se o vetor v = (a,b,c) é ortogonal aos vetores a e b, isso implica inevitavelmente em:

$\mathsf{v \cdot a = 0} \\ \\ \mathsf{(a,b,c) \cdot (1,2,0)=0} \\ \\ \mathsf{a+2b=0}$

E ainda:

$\mathsf{v \cdot b = 0} \\ \\ \mathsf{(a,b,c) \cdot (1,4,3)=0} \\ \\ \mathsf{a+4b+3c=0}$

Veja, temos um sistema linear!

$\displaystyle \mathsf{ \left \{ {{a+2b=0} \atop {a+4b+3c=0}} \right. }$

Se a + 2b = 0, temos a = -2b e daí:

$\mathsf{a+4b+3c=0} \\ \\ \mathsf{-2b+4b+3c=0} \\ \\ \mathsf{2b+3c=0} \\ \\ \mathsf{\displaystyle c = -\frac{2}{3}b}$

A premissa é que o vetor v terá que ter módulo igual a 14, então:

$\displaystyle \mathsf{||v||=14} \\ \\ \mathsf{\sqrt{a^2+b^2+c^2}=14} \\ \\ \mathsf{a^2+b^2+c^2=14^2} \\ \\ \mathsf{a^2+b^2+c^2=196}$

Sabendo que a = -2b e c = -2/3b , temos:

$\displaystyle \mathsf{a^2+b^2+c^2=196} \\ \\ \\ \mathsf{(-2b)^2+b^2+(-\frac{2}{3}b)^2=196} \\ \\ \\ \mathsf{4b^2+b^2+\frac{4}{9}b^2=196} \\ \\ \\ \mathsf{\frac{49}{9}b^2=196} \\ \\ \\ \mathsf{b^2=\frac{196}{\displaystyle \frac{49}{9}}} \\ \\ \\ \mathsf{b^2=196 \cdot \frac{9}{49}} \\ \\ \\ \mathsf{b^2=36} \\ \\ \\ \mathsf{b=\sqrt{36}} \\ \\ \\ \boxed{ \mathsf{b=6} }$

Se b = 6, então a sera -12 e c será -4. Então o vetor procurado é:

$\boxed{\boxed{ \mathsf{v=(-12,6,-4)} }}$