Question

Alguém me ajuda ?! Para a parábola x^2=4y, determine K para que a reta 2x-y-k=0 seja tangente á está parábola.

Answer 1

Bom, se a parábola é x² = 4y, então a função será:

$\mathsf{\displaystyle y = \frac{1}{4}x^2}$

O coeficiente angular m da reta é:

$\mathsf{2x-y-k=0} \\ \\ \mathsf{y=2x-k} \\ \\ \boxed{ \mathsf{m=2} }$

Daí só teremos que derivar a função e igualar ao coeficiente angular m que acabamos de encontrar:

$\displaystyle \mathsf{y=\frac{1}{4}x^2} \\ \\ \mathsf{y'=\frac{1}{2}x} \\ \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \\ \mathsf{\frac{1}{2}x=2} \\ \\ \mathsf{x=4}$

Se x = 4, temos:

$\displaystyle \mathsf{y=\frac{1}{4}x^2} \\ \\ \mathsf{y=\frac{1}{4} \cdot 4^2} \\ \\ \mathsf{y=4}$

Agora podemos montar a equação da reta tangente e encontrar o valor de k:

$\displaystyle \mathsf{y-y_{0}=m \cdot (x-x_{0})} \\ \\ \mathsf{y-4}=2 \cdot ( \mathsf{x} - \mathsf{4})} \\ \\ \mathsf{y-4=2x-8} \\ \\ \mathsf{y=2x-8+4} \\ \\ \mathsf{y=2x-4}$

k = - 4.