Question

Sem assumir o quinto postulado de Euclides, prove:





(Saccheri-Legendre) A soma dos ângulos internos
de um triângulo é MENOR ou igual a 180◦.

Answer 1

Você precisa ter em mente que dado ABC um triângulo, existe um triângulo AMC tal que a soma dos ângulos é a mesma soma dos ângulos do triângulo ABC, e AMC possui um ângulo com medida menor ou igual a metade de algum ângulo de ABC.

Agora, faça a suposição contrária, isto é,  que exista um triângulo ABC, tal que a soma dos ângulos internos é maior do que 180. Logo, existe α>0 tal que 180+ α.
Para facilitar, assuma que as letras Maiúsculas denotam ângulos do respectivo vértice do triângulo em questão.

Iremos fazer uso do conceito de limite para concluir que a soma dos ângulos internos é menor ou igual a 180.
Pelo comentário inicial, podemos encontrar um outro triângulo A_1B_1C_1 com a propriedade

$\left \{ {{A_1+B_1+C_1=180+ \alpha } \atop {A_1 \leq \frac{1}{2} A}} \right.$

Argumentando indutivamente sobre isso, existe N grande  tal que $\frac{A}{2^{N}} \ \textless \ \alpha$ . Decorre imediatamente que
 B_N +C_N = 180◦+$\alpha$−A_N > 180 , isto contradiz o resultado que não depende do quinto postulado: " A soma de dois ângulos internos de um triângulo é menor do que 180."

Por fim, como fizemos  a suposição que ocorreria "soma dos ângulos maior" chegamos a um absurdo. Assim, só pode ocorrer 

A+B+C$\leq$ 180.(*)

Deixando de assumir o quinto postulado, ficou verificado que nem sempre vale a igualdade em (*).
Bons estudos.

Answer 2

Use o teorema: Dado ABC, existe E tal que AEC tal que a soma dos ângulos é a mesma soma dos ângulos do triângulo ABC, e AEC possui um ângulo com medida menor ou igual a metade de algum ângulo de ABC.

Daí argumente por indução para obter um absurdo.