Question

Duas forças LaTeX: \vec{F}_{1} F1⇀ (80N) e LaTeX: \vec{F}_{2} F2⇀ (LaTeX: {F}_2F2 = ?) cuja as linhas de ação jazem no plano vertical puxam um parafuso fixo na parede conforme ilustra a figura.

Answer 1

Boa noite!

1) Método geométrico

Para utilizar o método geométrico, começamos redesenhando os vetores. Colocamos a cauda de F2 na ponta de F1. O vetor que conecta a cauda de F1 à ponta de F2 será, então o vetor resultante.

Olhe a figura que eu anexei. As forças são as mesmas da figura do problema, eu apenas desloquei a força 2 para conectá-la a força 1. Agora, se você prestar atenção, verá que as três forças formam um triângulo! Infelizmente, esse não é um triângulo retângulo e, portanto, não podemos utilizar o teorema de Pitágoras. No entanto, há uma outra regra que pode ser utilizada: a lei dos cossenos.

Para o nosso triângulo, a lei dos cossenos nos diz que:

$F_2^2=F_1^2+F_{res}^2-2\cdot{F_1}\cdot{F_{res}}\cdot{\text{cos}(53\º)}$

Utilizando cos(53º)=0,60, temos:

$F_2^2=F_1^2+F_{res}^2-2\cdot{F_1}\cdot{F_{res}}\cdot{\text{cos}(53\º)}$
$F_2^2=80^2+160^2-2\cdot{80}\cdot{160}\cdot{0,6}$
$F_2^2=6400+25600-15360$
$F_2^2=16640$
$F_2=\sqrt{16640}$
$F_2=129\,N$

Ou seja, o módulo da força 2 é de 129 Newtons!

2) Método analítico

No método analítico, vamos decompor as forças em suas componentes nas direções x e y e analisar cada componente separadamente. Uma força qualquer será escrita em termos de suas componentes de dos vetores unitários nas direções x e y como:

$\vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}$

Evidentemente, a força resultante só tem componente na direção x, pois é o que o enunciado determina. Assim, para a força resultante, temos:

$F_{res,x}=160\,N$
$F_{res,y}=0$

Para a força 1, vamos ter que usar um pouco de trigonometria. Suas componentes são dadas por:

$F_{1,x}=80\cdot{\text{cos}(53\º)}$
$F_{1,y}=-80\cdot{\text{sin}(53\º)}$

Observação: note o sinal negativo na componente y. Ele está ali porque sabemos que a componente y da força 1 aponta para baixo (direção negativa).

Utilizando cos(53º)=0,60 e sin(53º)=0,80, temos:

$F_{1,x}=48\,N$
$F_{1,y}=-64\,N$

Agora, vamos encontrar as componentes da força 2. A soma da componente y das forças 1 e 2 deve ser igual à componente y da força resultante, isto é,

$F_{1,y}+F_{2,y}=F_{res,y}$

Sabemos que a componente y da força 1 é -64 N e que a força resultante não tem componente y. Logo,

$-64+F_{2,y}=0$
$F_{2,y}=64\,N$

Agora vamos à soma na direção x. De forma análoga ao que fizemos na direção y, podemos escrever:

$F_{1,x}+F_{2,x}=F_{res,x}$

Utilizando os valores que encontramos, temos:

$48+F_{2,x}=160$
$F_{2,x}=160-48$
$F_{2,x}=112\,N$

Portanto, já temos as duas componentes da fora 2, que são:

$F_{2,x}=112\,N$
$F_{2,y}=64\,N$

Para achar o módulo da força dois, utilizamos o teorema de Pitágoras:

$F_2=\sqrt{F_{2,x}^2+F_{2,y}^2}$
$F_2=\sqrt{112^2+64^2}$
$F_2=\sqrt{12544+4096}$
$F_2=\sqrt{16640}$
$F_2=129\,N$

Com isso, encontramos que o módulo da força 2 é 129 N. Note que esse resultado é exatamente o mesmo que obtivemos com o método geométrico, assim como deveria.