Question

1) Dado um espelho esférico côncavo de 60 cm de raio e um objeto de 3,0 cm
de altura colocado no eixo óptico do espelho. Determine a posição, altura e a
natureza da imagem quando a distância do objeto for:
a) 60 cm;
b) 50 cm;
c) 20 cm;
d) 10 cm.
2) Dado um espelho côncavo, deseja-se projetar a imagem de um objeto numa
tela a 2,5 m do espelho. A imagem deve ser cinco vezes maior que o objeto. A
que distância o espelho deve estar posicionado em relação ao objeto?

Answer 1

$\boxed{\boxed{\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} }}$

f= distancia focal = raio/2
p = distancia do objeto até o espelho 
p' = distancia da imagem até o espelho
.........................................
$\boxed{\boxed{ \frac{i}{o}= \frac{-p'}{p} }}$

i = altura da imagem ( tamanho)
o = altura do objeto ( tamanho)
.............................................................................
natureza das imagens no espelho concavo:

Se objeto estiver entre o foco e o espelho 
a imagem é VIRTUAL, DIREITA e AUMENTADA 

Se objeto estiver a uma distância maior que a distancia. focal
 a imagem é REAL, INVERTIDA e AUMENTADA

Se objeto estiver no foco não forma imagem (os raios de luz não convergem ) 
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exercicio 1)

dados:
raio = 60 cm
f =60/2 = 30cm
o = 3 cm

como no exercicio teremos que calcular a distancia p'
vou isolar p' na equação
$\frac{1}{30} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\\\\ \frac{1}{30}- \frac{1}{p}= \frac{1}{p'} \\\\ p'* (\frac{1}{30}- \frac{1}{p} )= 1\\\\ \boxed{\boxed{p' = \frac{1}{ (\frac{1}{30}- \frac{1}{p} )} }}$

do mesmo modo na outra equação teremos que achar o valor de i
$\frac{i}{3}= \frac{-p'}{p} \\\\\boxed{\boxed{i= \frac{-p'}{p}*3 }}$
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Determine a posição, altura e a natureza da imagem 
quando a distância (p) do objeto for:

a) p=60 cm
distancia do objeto até o espelho é maior que a distancia do foco ate o espelho
a imagem é REAL, INVERTIDA AUMENTADA


$p' = \frac{1}{ (\frac{1}{30}- \frac{1}{60} )}\\\\ p' = \frac{1}{ \frac{1}{60} } = 60cm$

calculando a altura
$i= \frac{-60'}{60}*3 \\\\i = -3cm$
.....................................................................
b) p= 50cm
a imagem é REAL, INVERTIDA e AUMENTADA

$p' = \frac{1}{ (\frac{1}{30}- \frac{1}{50} )}= \frac{1}{ \frac{1}{75} } = 75cm$

$i = \frac{-75}{50} * 3 = -4,5cm$

....................................................................
c) p=20 cm
Se objeto estiver entre o foco e o espelho 
a imagem é VIRTUAL, DIREITA e AUMENTADA 

$p' = \frac{1}{ (\frac{1}{30}- \frac{1}{20} )}= \frac{1}{\frac{-1}{60} } = -60$

....
$i = \frac{-(-60)}{20} * 3 =9cm$
.................................................................
d) 10cm
a imagem é VIRTUAL, DIREITA e AUMENTADA 


$p' = \frac{1}{ (\frac{1}{30}- \frac{1}{10} )}= \frac{1}{ \frac{-1}{15} } = -15$
.........
$i = \frac{-(-15)}{10} * 3 = 4,5cm$
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exercicio 2)

dados: 
a imagem será projetada em uma tela que está a uma distancia de 2,5m do espelho
distancia da imagem até o espelho -> p'=2,5 m = 250 cm

o tamanho da imagem é será 5 vezes maior que o tamanho do objeto
então
$i = 5*o$

para a imagem ser projetada sobre uma tela ela tem que ser real
mas como o espelho é concavo essa imagem será invertida
porem o resultado tem que ser positivo pois ela é real
então temos
$i = -5*o$

substituindo na equação

$\frac{i}{o}= \frac{-p'}{p} \\\\ \frac{-5*o}{o}= \frac{-250}{p}\\\\ -5p = -250\\\\p= \frac{-250}{-5} \\\\p = 50cm$