Question

A equação 2 sen x . cos x = sen x, no intervalo -π/4 ≤ x ≤ 5π/4, tem


a) nenhuma raiz

b) duas raízes

c) três raízes

d) quatro raízes

e) cinco raízes

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica

     2 sen x cos x = sen x

no intervalo  − π/4 ≤ x ≤ 5π/4,  ou seja,  − 45° ≤ x ≤ 225°.

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Reescreva a equação, e coloque  sen x  em evidência no lado esquerdo:

     $2\,\mathrm{sen\,}x\cos x-\mathrm{sen\,}x=0$

     $\mathrm{sen\,}x\cdot (2\cos x-1)=0\quad\longleftarrow\quad\textsf{equa\c{c}\~ao-produto.}$


O produto é zero apenas se algum dos fatores é zero:

     $\begin{array}{rcl} \mathrm{sen\,}x=0&\textsf{~~ou~~}&2\cos x-1=0\\\\ \mathrm{sen\,}x=0&\textsf{~~ou~~}&\cos x=\dfrac{1}{2} \end{array}$


Resolva cada equação separadamente e depois faça a união das soluções:

     •   $\mathrm{sen\,}x=0$

         $x=k\cdot 180^\circ$

         $x=0^\circ\quad\textsf{ ou }\quad x=180^\circ$          ✔


     •   $\cos x=\dfrac{1}{2}$

         $x=\pm\,60^\circ+k\cdot 360^\circ$


     Adequando ao intervalo de interesse, encontramos como solução apenas

     $x=60^\circ$          ✔

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Conjunto solução:   S = {0°, 60°, 180°}


Resposta:  alternativa  c)  três raízes.


Bons estudos! :-)