Question

Uma peça de ouro e cobre pesa 28,36 N quando fora d'água, e 26,48 N quando totalmente imersa. Qual é aproximadamente a massa do ouro contida na peça em kg? Dados: massa específica do ouro 19,3 g/cm3, massa específica do cobre 8,9 g/cm3 e g = 9,8 m/s2.

Answer 1

Boa noite!

Vou utilizar os dados do seu enunciado para chegar numa expressão para a massa de ouro na peça em termos das densidades do ouro e do cobre, que são dados.

Para começar, temos que o peso da peça é 28,36 N fora d'água. É evidente que esse peso é igual à soma dos pesos de ouro e cobre na peça. Assim, podemos escrever:

$P_{Au}+P_{C{u}}=28,36$

onde

$P_{Au}$ é o peso de ouro
$P_{C{u}}$ é o peso de cobre

Da expressão acima, podemos escrever:

$P_{C{u}}=28,36-P_{Au}$ (Eq. 1)

Agora, sabemos que dentro da água o peso da peça é de 26,48 N. Esse valor é menor do que o peso fora da água devido à força de empuxo. De fato, podemos escrever:

$P_{Au}+P_{C{u}}-E=26,48$ (Eq. 2)

onde E representa a força de empuxo. A equação acima nos diz que o peso observado dentro da água é igual ao peso da peça (ouro + cobre) menos o empuxo. Agora, vamos determinar uma expressão para a força de empuxo.

Sabemos que o empuxo é igual ao peso da massa de água deslocada quando a peça é submersa, ou seja:

$E=\rho_l\cdot{V_l}\cdot{g}$

onde 

$\rho_l$ é a densidade da água
$V_l$ é o volume de água deslocada
$g$ é a aceleração gravitacional

É óbvio que o volume de água deslocada é igual ao volume da peça (ouro+cobre). Logo, podemos escrever:

$E=\rho_l\cdot{V_l}\cdot{g}$
$E=\rho_l\cdot{(V_{Au}+V_{C{u}})}\cdot{g}$

onde os subíndices Au e C u indicam os volumes de ouro e cobre, respectivamente. Ainda, sabemos que o volume de um objeto é igual à sua massa divida por sua densidade (ou massa específica). Dessa forma, temos:

$E=\rho_l\cdot{(\frac{m_{Au}}{\rho_{Au}}+\frac{m_{C{u}}}{\rho_{C{u}}})}\cdot{g}$
$E=\rho_l\cdot{(\frac{m_{Au}\cdot{g}}{\rho_{Au}}+\frac{m_{C{u}}\cdot{g}}{\rho_{C{u}}})}$

Sabemos que o produto massa vezes gravidade é igual ao peso, logo:

$E=\rho_l\cdot{(\frac{P_{Au}}{\rho_{Au}}+\frac{P_{C{u}}}{\rho_{C{u}}})}$

Substituindo esse resultado na Equação 2, marcada acima, obtemos:

$P_{Au}+P_{C{u}}-E=26,48$
$P_{Au}+P_{C{u}}-\rho_l\cdot{(\frac{P_{Au}}{\rho_{Au}}+\frac{P_{C{u}}}{\rho_{C{u}}})}=26,48$
$P_{Au}+P_{C{u}}-\frac{\rho_l}{\rho_{Au}}P_{Au}-\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}P_{C{u}}=26,48$
$P_{Au}\left(1-\frac{\rho_l}{\rho_{Au}}\right)+P_{C{u}}\left(1-\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}\right)=26,48$

Agora, utilizamos a Equação 1, onde escrevemos o peso de cobre em termos do peso de ouro. Com isso, temos:

$P_{Au}\left(1-\frac{\rho_l}{\rho_{Au}}\right)+(28,36-P_{Au})\left(1-\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}\right)=26,48$
$P_{Au}\left(\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}-\frac{\rho_l}{\rho_{Au}}\right)+28,36-28,36\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}=26,48$
$P_{Au}\left(\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}-\frac{\rho_l}{\rho_{Au}}\right)=26,48-28,36+28,36\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}$

$P_{Au}\cdot\rho_l\left(\frac{\rho_{Au}-\rho_{C{u}}}{\rho_{Au}\rho_{C{u}}}\right)=-1,88+28,36\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}$

$P_{Au}=\frac{\rho_{Au}\rho_{C{u}}}{\rho_l(\rho_{Au}-\rho_{C{u}})}\left(-1,88+28,36\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}\right)$

Por fim, dividimos a equação acima para obter a massa de ouro na peça:

$m_{Au}=\frac{P_{Au}}{g}$

$m_{Au}=\frac{\rho_{Au}\rho_{C{u}}}{g\cdot\rho_l(\rho_{Au}-\rho_{C{u}})}\left(-1,88+28,36\frac{\rho_l}{\rho_{C{u}}}\right)$

São dados:

$\rho_{Au}=19,3\,g/cm^3=19300\,kg/m^3$

$\rho_{C{u}}=8,9\,g/cm^3=8900\,kg/m^3$

$\rho_l=1000\,kg/m^3$

$g=9,8\,m/s^2$

Com isso, obtemos:

$m_{Au}=\frac{19300\cdot{8900}}{9,8\cdot{1000}\cdot(19300-8900)}\left(-1,88+28,36\frac{1000}{8900}\right)$

Resolvendo a expressão acima obtemos, finalmente:

$m_{Au}=2,2\,kg$

Espero ter ajudado! Boa sorte com os estudos.