Question

do topo de um prédio lança-se verticalmente para cima uma pedra co velocidade inicial de 8m/s.apos 1 segundo lança se outra pedra de um ponto situado na mesma vertical e a uma altura de 120m do solo, com velocidade inicial de 10m/s, dirigida para baixo. Determine a altura o prédio, sabendo que os dois corpos chegaram ao solo ao mesmo tempo.

Answer 1

Boa noite!

Como os corpos estão sujeitos apenas à força gravitacional, ambos descreverão um Movimento Uniformemente Variado (MUV) com aceleração g=10m/s² (para baixo). A equação que descreve a posição em função do tempo no MUV (queda livre) é a seguinte:

$h(t)=h_0+v_0\cdot{t}-\frac{g\cdot{t}^2}{2}$ ,

onde

$h(t)$ é a altura do corpo em um dado instante t
$h_0$ é a altura inicial
$v_0$ é a velocidade inicial
$g=10\,m/s^2$ é a aceleração gravitacional

No caso da primeira pedra, conhecemos a posição final (solo) e a velocidade inicial apenas. Como não sabemos o tempo que ela levou para cair, não podemos determinar a altura do prédio (altura inicial). No entanto, sabemos que o tempo de queda da primeira pedra é igual ao tempo de queda da segunda pedra mais um segundo, como diz o enunciado!

Portanto, vamos começar calculando o tempo que a segunda pedra leva para cair. Temos, para a segunda pedra:

$h_0=120\,m$
$v_0=-10\,m/s$

Vamos fazer h(t)=0 para descobrir o instante em que ela chega ao solo:

$h(t)=h_0+v_0\cdot{t}-\frac{g\cdot{t}^2}{2}$ 
$0=120-10\cdot{t}-\frac{10\cdot{t}^2}{2}$
$0=120-10{t}-5{t}^2}$
$5t^2+10t-120=0$

Podemos dividir a equação acima por 5, para simplificá-la:

$t^2+2t-24=0$

Utilizando a fórmula de Bháskara, temos:

$t=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot{1}\cdot(-24)}}{2}$
$t=\frac{-2\pm\sqrt{4+96}}{2}$
$t=\frac{-2\pm\sqrt{100}}{2}$
$t=\frac{-2\pm{10}}{2}$
$t=-1\pm{5}$

A equação de segundo grau acima, evidentemente admite duas soluções, que são t=4s e t=-6s. Vamos descartar a solução negativa, pois não tem sentido físico e ficamos com

$t=4\,s$

Ou seja, a segunda pedra levou 4 segundos para atingir o solo. Como a primeira pedra foi lançada 1 segundo antes e chegou junto com a segundo, ela deve ter levado 5 segundos para atingir o solo. Com isso, podemos utilizar a equação do MUV para determinar a altura da qual a primeira pedra foi lançada, pois temos:

$h(5)=0$
$v_0=5\,m/s$

Logo:

$h(t)=h_0+v_0\cdot{t}-\frac{g\cdot{t}^2}{2}$
$0=h_0+8\cdot{5}-\frac{10\cdot{5}^2}{2}$
$0=h_0+40-\frac{10\cdot{25}}{2}$
$0=h_0+40-\frac{250}{2}$
$0=h_0+40-125}$
$0=h_0-85}$
$h_0=85\,m$

Assim, encontramos que a altura do prédio a partir do qual a primeira pedra foi jogada é de 85 metros!