Question

Calcule, pela definição, a derivada da função f(x) = x^5.

Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de F, no ponto (-1, -1).

Answer 1

Pela definição de derivada: 

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{(x+h)^5 - (x)^5}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{x^5 +5x^4h + 10x^3h^2 + 10x^2h^3 + 5xh^4 + h^5 - x^5}{h}$

Cancelando o $x^5$ com o $-x^5$ e colocando um h em evidência, ficamos com:

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} \frac{h(5x^4 + 10x^3h + 10x^2h^2 + 5xh^3 + h^4)}{h}$
$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} {5x^4 + 10x^3h + 10x^2h^2 + 5xh^3 + h^4}$

Como ${h \to \ 0}$, todos os termos com h serão zerados e ficaremos com:

$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} {5x^4}$
que é independente de h, portanto:
$f'(x) = \lim_{h \to \ 0} {5x^4} = 5x^4$

Calculada a expressão geral para a primeira derivada, vamos descobrir o valor dela no ponto $x = -1$:
$5x^4 = 5*(-1^4) = 5$

Agora calculamos o b da equação da reta tangente ao ponto $(-1,-1)$
$y = mx + b$
$-1 = 5*-1 + b$
$b = -1 + 5$
$b = 4$

Finalmente, encontramos o último termo para definirmos a reta tangente ao ponto $(-1,-1)$ como uma função. A equação é, então:

$y = 5x + 4$

Até mais!

Answer 2

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$\sf f(x)=x^5\\\sf f'(x)=5x^4\\\sf f'(-1)=5\cdot(-1)=5\\\sf y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\\\sf y=-1+5(x-[-1])\\\sf y=-1+5(x+1)\\\sf y=-1+5x+5\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf y=5x+4\checkmark}}}}$