Question

Fuvest) Em uma semicircunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo ACB intercepta a semicircunferência. O comprimento da corda AD é:

Answer 1

$Observe \ o \ anexo!$

$Ao \ inscrevermos \ um \ \triangle \ equil\'atero \ ABC \ numa \ semicircunfer\^encia, \\ partindo \ de \ seu \ centro \ C, obtemos \ o \ desenho, mas \ \dots \\ \\ Veja \ que, \ sendo \ A \ e \ B \ pontos \ do \ arco \ da \ semicircunfer\^encia, \\ OA \ e \ OB \ = \ R \ (raio \ da \ mesma), \ e, \ sendo \ equil\'atero, \ AB \ = \ R.$

$Logo, \ \triangle \ ABC \ \'e \ equil\'atero \ de \ lado \ l_{_{(\triangle ABC)}} \ = \ R. \\ \\ Sendo \ equil\'atero, A\widehat{B}C \ = \ C\widehat{A}B \ = \ A\widehat{C}B \ = \ 60^\circ.$

$A \ bissetriz \ CD \ divide \ igualmente \ A\widehat{C}B \ \Rrightarrow \\ \\ \boxed{C\widehat{D}A \ = \ C\widehat{D}B \ = \ \frac{A\widehat{C}B}{2} \ = \ 30^\circ}$

$D \ \'e \ um \ ponto \ do \ arco \ da \ semicircunfer\^encia \ : \ CD \ = \ R$

$Agora, \ observe \ o \ \triangle ADC \ \Rrightarrow \\ \\ \bold{Lei \ do \ Cosseno} \ para \ o \ A\widehat{C}D \ \longrightarrow \\ \\ \underbrace{AD^2}_{lado \ oposto} \ = \ AC^2 \ + \ CD^2 \ - \ 2 \ \cdot \ AC \ \cdot \ CD \ \cdot \ cos(A\widehat{C}D) \ \rightarrow \\ \\ \\ AD^2 \ = \ R^2 \ + \ R^2 \ - 2 \ \cdot \ R \ \cdot \ R \ \cdot \ \underbrace{cos(30^\circ)}_{\^angulo \ not\'avel} \ \rightarrow$

$AD^2 \ = \ 2 \ \cdot \ R^2 \ - \ \not{2} \ \cdot \ R^2 \ \cdot \ \frac{\sqrt{3}}{\not{2}} \ \rightarrow \\ \\ AD^2 \ = \ 2 \ \cdot \ R^2 \ - \ \sqrt{3} \ \cdot \ R^2 \ \rightarrow \\ \\ AD^2 \ = \ R^2 \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3}) \ \rightarrow \\ \\ AD \ = \ \sqrt{R^2 \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})} \ \rightarrow \\ \\ AD \ = \ \sqrt{R^2} \ \cdot \ \sqrt{(2 \ - \ \sqrt{3})} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{AD \ = \ R \ \cdot \ \sqrt{(2 \ - \ \sqrt{3})}}} \ \Rrightarrow \ Medida \ da \ corda \ AD!$

Answer 2

Note que A e B são pontos da semicircunferência, logo a distância entre esses pontos e o centro é igual ao raio da semicircunferência. Sendo ABC equilátero, temos que AB = R.

Note também que D é ponto da semicircunferência, logo, o segmento CD também vale R. Portanto, o triângulo ADC é isósceles e podemos utilizar a Lei dos Cossenos em ADC para encontrar AD. Temos que:

AD² = AC² + CD² - 2.AC.CD.cos(30°)

AD² = R² + R² - 2R².√3/2

AD² = 2R² - 2R²√3/2

AD² = R²(2 - 2√3/2)

AD² = R²(2 - √3)

AD = √R²(2 - √3)

AD = R√(2-√3)

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