Question

(Mackenzie) A seqüência (2, a, b, ...... , p, 50) é uma progressão aritimética de razão r < 2/3, onde, entre 2 e 50, foram colocados k termos. Então o valor mínimo de k é:

Answer 1

Note que essa é uma PA crescente, ou seja os seus termos seguintes são sempre maiores que seus antecessores (an > ... > a3 > a2 > a1), com base nisso temos que a razão está entre 0 e 2/3 (0 < r < 2/3).

Agora perceba uma coisa, o valor mínimo de k representa o número de termos, se eu quero que o número de termos seja necessariamente o menor possível a razão deve ser a maior possível (pois assim "2 chegará até 50" mais rápido, entende?).

Vamos considerar por um instante a razão como 2/3, temos então que:
a1 = 2
an = 50
r = 2/3
n = k

an = a1 + (n - 1).r 
50 = 2 + (k - 1). (2/3)
50 - 2 = (k - 1). (2/3)
48 = (k - 1). (2/3)
48 . 3/2 = k - 1
24 . 3 = k - 1
k = 72 + 1
k = 73 , retirando agora o a1 e o an, já que k representa o número de termos ENTRE              eles:
k = 71
 
mas note que o exercício diz que a razão é MENOR que 2/3 e não MENOR ou IGUAL a 2/3, assim se a r < 2/3, k > 71, mas como r é bem próximo de 2/3, k é bem próximo de 71, como k necessariamente é um número natural, k = 72.

Bons estudos