Question

,0) Considera a função: LaTeX: f\left(x\right)=\sqrt[4]{x}.f(x)=[4]x. Calcule LaTeX: f'\left(x\right),\:x>0. Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de LaTeX: ff no ponto LaTeX: x_0=256.x0=256. Use esta equação para obter um valor aproximado de LaTeX: \sqrt[4]{256,32.}[4]256,32.

Answer 1

A raiz quarta de x é o mesmo que x^1/4:

O primeiro passo é fazer a derivação do x, onde você deve colocar o expoente na frente do x e diminuir uma unidade do expoente, desta forma:
'(x) = 1/4.x^ (-3/4) = x^(-3/4)/4 = [1/x^3/4)]/4 = 1/4x^(3/4) = 1/4.raiz quarta de x³

Considerando a reta da tangente, que é a que passa pelo ponto desejado e tem inclinação ou igual ou derivada, ou seja quando x= 256 e y=4, temos então o ponto 256,4, e a derivada neste ponto vai ser 1/4 raiz quarta de 256³ = 1/4.4.4.4 = 1/256. Agora, substituindo:

y - 4 = 1/256 (x - 256)
y = x/256 - 1 + 4
portanto

y = x/256 + 3

-Agora você substitui o x na equação por 256,32 (função é y = raiz quarta de alguma coisa, no caso, esse alguma coisa é 256,32), para então encontrar o y, que é o valor da função e portanto da raiz quarta. Assim:

y = 256,32/256 + 3
y = 256,32/256 +  768/256
y = 1024,32/256
y = 4,00125.