Question

Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções: a) f(x) = x7 senx.

b) f(x) = cosx log10x.

c) f(x) = 2x2+1/x+5

d) f(x) = x2/tgx

Answer 1

Vou assumir que o x7 na letra A é $x^7$, o log10x da letra B é o logaritmo de x na base 10, 2x2 da letra C é $2x^2$ e o x2 na letra D é $x^2$. Além disso, espero que você saiba a derivada de cada termo de cada exercício e somente necessite da derivada total usando as regras, vamos lá:

$a) f(x) = x^7 * sin x$
Vamos usar a regra para produtos seguinte:
$(uv)' = u'v + uv'$
$f'(x) = (x^7)'sin x + x^7*(sin x)'$
$f'(x) = 7x^6 * sinx + x^7 * cos x$
$f'(x) = x^6*(x*cosx + 7*sin x)$



$b) f(x) = cos x * log10x$
Vamos diferenciar usando a regra do produto, novamente :
$f'(x) = (cos x)'log10x + cos x(log10x)'$
$f'(x) = -sin x * log10x + cos x * \frac{1}{xln10}$
Usando a propriedade log de m na base n = ln m / ln n :
$f'(x) = -sin x * \frac{lnx}{ln 10} + \frac{1}{ln 10} * \frac{cos x}{x}$
$f'(x) = \frac{1}{ln 10}*(-sin x * ln x + \frac{cos x}{x})$

c)$f(x) = \frac{2x^2+1}{x+5}$
Vamos diferenciar usando a seguinte regra, chamada regra do quociente:
$(u/v)' = (vu' - uv')/v^2$
$f'(x) = \frac{(x+5)(2x^2 +1)' - (x+5)'(2x^2 +1)}{(x+5)^2}$
$f'(x) = \frac{(x+5)4x - 2x^2 -1 }{(x+5)^2}$
$f'(x) = \frac{4x^2 +20x -2x^2 -1}{(x+5)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 +20x - 1}{(x+5)^2}$

$d) f(x) = x^2 / tg x$
Novamente, usaremos a regra do quociente:
$f'(x) =\frac {tg x(x^2)' - (tg x)'x^2}{(tg x)^2}$
$f'(x) = \frac {tg x(2x) - (sec^2x)x^2}{(tg x)^2}$
$f'(x) = \frac {2x * \frac {sin x}{cos x} - x^2 * \frac {1}{cos^2x}} {\frac {sin^2x}{cos^2x}}$
$f'(x) = \frac {2x * sin x cos x - x^2} {sin^2x}}$
Usando a identidade trigonométrica sin(2x) = 2sinxcosx, ficamos com a resposta final igual a:
$f'(x) = \frac {xsin(2x) -x^2}{sin^2}$