Question

Sabe-se que a constante C não interfere no cálculo da integral definida. Muitos autores utilizam C = 0 para esses cálculos.

Answer 1

Olá!
Vamos integrar nossa função x² + 1 indefinidamente e depois definidamente entre x = 0 e x = 5 e ver que resultados obtemos.

Integral definida de x² + 1:
$\int\ {(x^2 + 1)} \, dx$
Usamos a propriedade que diz que a integral da soma é a soma das integrais:
$\int\ {(x^2 + 1)} \, dx = \int\ {x^2} \, dx + \int\ {1} \, dx$
$\int\ {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3} + C1$
$\int\ {1} \, dx = x + C2$
Então, se dissermos que C = C1 + C2:
$\int\ {(x^2 + 1)} \, dx = \frac{x^3}{3} + C1 + x + C2 = \frac{x^3}{3} + x + C$
Como o texto sugere indiretamente que usemos C = 0, então o nosso resultado é o mesmo de cima, mas sem o C.
Já vemos de cara que a afirmação I é falsa, pois não está da forma $\frac{x^3}{3} + x$. Também conseguimos ver que a afirmação II é verdadeira também pois é exatamente o resultado que encontramos. Agora vamos descobrir o resultado da integral definida para analisar as outras afirmações.
$\int\limits^5_0 {(x^2 + 1)} \, dx = ?$
Como sabemos o resultado da integral indefinida, basta aplicar os limites e ver o resultado:
$\int\limits^5_0 {x^2 + 1} \, dx = (\frac{5^3}{3} + 5) - (\frac{0^3}{3} + 0)$
$(\frac{125}{3} + 5) - (0) = \frac{125}{3} + 5$
Multiplicando o 5 por 3/3, não mudaremos o valor dele, mas conseguiremos juntar essa soma em uma única fração:
$\frac{125}{3} + \frac{3*5}{3} = \frac{125 + 15}{3} = \frac{140}{3}$
Daqui, vemos que a afirmação III nos dá exatamente esse resultado e portanto é correta e a opção IV nos dá outro resultado e portanto é falsa. Como das 2 primeiras afirmações a única verdadeira é a II, a nossa resposta tem somente as afirmações II e III. Letra b.

Answer 2

Resposta:

b

Explicação passo-a-passo: