Question

O pêndulo de um relógio da casa de João realiza oscilações, e cada oscilação, medida por João dura 2,0s. Qual é o tempo de duração de cada oscilação desse pêndulo para José, que é um astronauta dentro de uma nave que se move em linha reta, com velocidade constante e igual a 0,60 ºC em relação à casa de joão?

b) Considere a ocorrência de um evento dentro da nave, de 2,0s de duração, medidos por José. Qual é a duração desse evento para João?

Answer 1

Bom dia!

Na teoria da Relatividade Especial, intervalos de tempo medidos por um observador podem ser percebidos com valores diferentes por outros observadores que se movimentam com relação ao primeiro. Esse efeito é conhecido como dilatação do tempo. No entanto, esse efeito somente é perceptível quando a velocidade relativa dos observadores é comparável à velocidade da luz.

A fórmula que descreve a dilatação do tempo é:

$\Delta{t}=\frac{\Delta{t}'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ ,

onde

$\Delta{t}$ é o intervalo de tempo medido pelo observador em movimento
$\Delta{t}'$ é o intervalo de tempo medido pelo observador em repouso
$v$ é a velocidade relativa entre os observadores
$c$ é a velocidade da luz

a) Duração da oscilação do pêndulo observada por José:

No seu caso, temos:

$\Delta{t}'=2\,s$ 
$v=0,6\cdot{c}$

Com isso, podemos determinar o período do pêndulo medido por José, o astronauta:

$\Delta{t}=\frac{2}{\sqrt{1-(0,6c)^2/c^2}}$ 
$\Delta{t}=\frac{2}{\sqrt{1-0,6^2c^2/c^2}}$ 
$\Delta{t}=\frac{2}{\sqrt{1-0,6^2}}$ 
$\Delta{t}=\frac{2}{\sqrt{1-0,36}}$ 
$\Delta{t}=\frac{2}{\sqrt{0,64}}$ 
$\Delta{t}=\frac{2}{0,8}$ 
$\Delta{t}=2,5\,s$ 

Portanto, concluímos que para José, o tempo de oscilação do pêndulo é de 2,5 segundos.

b) Considere a ocorrência de um evento dentro da nave, de 2,0s de duração, medidos por José. Qual é a duração desse evento para João?

Para responder esta pergunta, não precisamos fazer nenhuma conta. Vamos interpretar o que fizemos na questão anterior. João, que estava em repouso na Terra, fazia oscilar um pêndulo cujo período era de 2,0 segundos. José, que se movia com velocidade 0,6c em relação a João, observava um período de 2,5 segundos para o mesmo pêndulo. Note que o importante aqui é a velocidade relativa entre os dois observadores!

Agora, vamos imaginar que José mede um evento na sua nave que tem duração de 2,0 segundos. Aqui, podemos imaginar que José está em repouso e que João, que está na Terra, se move com velocidade 0,6c. Este raciocínio é válido dado que o movimento sempre é medido em relação a algum referencial! Fica óbvio, então, que João observará esse evento com uma duração de 2,5 segundos!