Question

UFRJ - A soma de um número complexo z com seu conjugado é igual a 3 vezes a parte imaginária de z e o produto de z pelo seu conjugado vale 52. Determine z, sabendo que sua parte real é positiva,

Sei que a resposta é z = 6 + 4i

Answer 1

Olá,

z₁ = a+bi
z₂ = a-bi ⇒ conjugado de z₁

z₁+z₂ = 3b
a+bi+a-bi = 3b
2a = 3b
a = 3b/2

z₁·z₂ = 52
(a+bi)·(a-bi) = 52
(a)·(a)+(a)·(-bi)+(bi)·(a)+(bi)·(-bi) = 52
a²-b²i² = 52
a²+b² = 52
(3b/2)²+b² = 52
9b²/4+b² = 52
(9b²+4b²)/4 = 52
13b²/4 = 52
13b² = 4·52
13b² = 208
b² = 208/13
b² = 16
b = √16
b = 4 ou b = -4

Para b = 4

a = 3b/2
a = 3·4/2
a = 3·2
a = 6

Para b = -4

a = 3b/2
a = 3·(-4)/2
a = 3·(-2)
a = -6

Como a parte real é positiva, temos que a = 6 e assim, b = 4

Resposta:

z₁ = a+bi = 6+4i

Answer 2

Com os estudos dos números complexos z₁ = a+bi = 6+4i.

Número complexo

É todo número da forma a+bi, em que {a, b} ⊂ IR e i é a unidade imaginária onde i²= i.i= -1. A insuficiência dos números reais se revela da radiação: não existem, em IR, raízes quadradas, quartas, etc de números negativos.

Para que a radiciação seja sempre possível, os matemáticos ampliaram o conceito de número, definindo o número i, não real, que chamaram de unidade imaginária.

O conjunto dos números complexos é indicado por C, isto é: C={a+bi, com a e b reais}. Com esses "novos" números é possível definir raiz de índice par e radicando negativo, pois potências de números complexos com expoente par podem ser negativos. Podemos agora resolver o exercício.

• z₁ = a+bi
• z₂ = a-bi ⇒ conjugado de z₁

Daí, temos z₁+z₂ = 3b ⇒ a+bi+a-bi = 3b ⇒ 2a = 3b ∴ a = 3b/2. Olhando agora para o produto z₁·z₂ = 52 ⇒ (a+bi)·(a-bi) = 52 ⇒ (a)·(a)+(a)·(-bi)+(bi)·(a)+(bi)·(-bi) = 52 ⇒ a²-b²i² = 52. Como i² = -1, temos: a²+b² = 52 ⇒ (3b/2)²+b² = 52 ⇒ 9b²/4+b² = 52 ⇒ (9b²+4b²)/4 = 52 ⇒ 13b²/4 = 52 ⇒ 13b² = 4·52 ⇒ 13b² = 208 ⇒ b² = 208/13 ⇒ b² = 16 ⇒ b = √16 ∴ b = 4 ou b=-4.

Para b = 4,temos

• a = 3b/2
• a = 3·4/2
• a = 3·2
• a = 6

Para b = -4,temos

• a = 3b/2
• a = 3·(-4)/2
• a = 3·(-2)
• a = -6

Como a parte real é positiva, temos que a = 6 e assim, b = 4,temos z₁ = a+bi = 6+4i.

Saiba mais sobre números complexos: https://brainly.com.br/tarefa/11194648

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