Question

alguem resolve a integral por favor?
$\int\limits { \frac{x}{ x^{3}-1 } } \, dx$

Answer 1

Vamos fatorar o denominador e aplicar frações parciais:

$\displaystyle \int \frac{x}{x^3-1} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{x}{(x-1) \cdot (x^2+x+1)} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{A \cdot (x^2+x+1)+Bx+C \cdot (x-a)}{(x-1) \cdot (x^2+x+1)} \, dx$

Só precisaremos do numerador, e ficará da seguinte maneira:

$\displaystyle A \cdot (x^2+x+1)+Bx+C \cdot (x-a) \\ \\ Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C \\ \\ (A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C$

Comparando os numeradores, obtemos o seguinte sistema linear e seus resultados:

$\displaystyle \int \frac{0x^2+1x+0}{x^3-1} \, dx \\ \\ \\ \[ \left\{ \begin{array}{lll} A+B = 0 \\ A-B+C=1 \\ A-C=0 \end{array} \right. \]$

$\displaystyle A = \frac{1}{3} \\ \\ B=-\frac{1}{3} \\ \\ C = \frac{1}{3}$

Daí temos:

$\displaystyle \int \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{x-1}+\frac{-\displaystyle \frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2+x+1} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{3 \cdot (x-1)}+\frac{\displaystyle \frac{1-x}{3}}{x^2+x+1} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{3 \cdot (x-1)}+\frac{1-x}{3 \cdot (x^2+x+1)} \, dx$

A primeira integral ficará:

$\displaystyle \int \frac{1}{3 \cdot (x-1)} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{x-1} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{3} \ln |x-1|$

Na segunda integral, teremos que completar o quadrado no fator irredutível, representado pela fórmula que segue. Lembrando que uma equação do segundo grau é da forma ax² + bx + c.

Daí temos:

$x^2+x+1 \\ \\ x^2+x=-1 \\ \\ (x \pm a)^2 = k$

Divida o coeficiente b por 2 e faça o seguinte:

$\displaystyle \frac{b}{2} \longrightarrow \frac{1}{2} \\ \\ \bigg( x + \frac{1}{2} \bigg)^2 = k$

Eleve esse resultado do coeficiente b ao quadrado e some com o coeficiente c:

$\displaystyle \bigg( \frac{1}{2} \bigg)^2 = \frac{1}{4} \\ \\ \\ -1+\frac{1}{4} = -\frac{3}{4}$

Daí ficamos com:

$\displaystyle x^2+x=-1 \\ \\ \bigg( x+ \frac{1}{2} \bigg)^2 = -\frac{3}{4} \\ \\ \\ \bigg( x+ \frac{1}{2} \bigg)^2 + \frac{3}{4} =0$

Agora temos a seguinte integral:

$\displaystyle \int \frac{1-x}{3 \cdot (x^2+x+1)} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1-x}{\displaystyle 3 \cdot \bigg ( \bigg( x+ \frac{1}{2} \bigg)^2+ \frac{3}{4} \, \, \bigg ) } \, dx$

Fazendo:

$\displaystyle u = x+ \frac{1}{2} \\ \\ \\ x = u - \frac{1}{2} \\ \\ \\ x = \frac{2u-1}{2} \\ \\ \\ \int \frac{1-x}{\displaystyle 3 \cdot \bigg ( \bigg( x+ \frac{1}{2} \bigg)^2+ \frac{3}{4} \, \, \bigg ) } \, du \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cdot \int \frac{\displaystyle 1-\frac{2u-1}{2}}{\displaystyle u^2+ \frac{3}{4}} \, du$

Daí:

$\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \int \frac{\displaystyle \frac{2-(2u-1)}{2}}{\displaystyle \frac{4u^2+3}{4}} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cdot \int \frac{\displaystyle \frac{2-2u+1}{2}}{\displaystyle \frac{4u^2+3}{4}} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cdot \int \frac{3-2u}{2} \cdot \frac{4}{4u^2+3} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{3} \cdot \int \frac{2 \cdot (3-2u)}{4u^2+3} \, dx \\ \\ \\ \frac{2}{3} \cdot \int \frac{3-2u}{4u^2+3} \, du$

E agora:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \int \frac{3-2u}{4u^2+3} \, du \\ \\ \\ \frac{2}{3} \cdot \int \frac{3}{4u^2+3} - \frac{2u}{4u^2+3} \, du$

A primeira integral ficará:

$\displaystyle \int \frac{3}{3+4u^2} \, du \\ \\ \\ \frac{3}{3} \cdot \int \frac{1}{\displaystyle 1+\frac{4}{3}u^2} \, du \\ \\ \\ \int \frac{1}{\displaystyle 1+ \bigg( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} u \bigg)^2} \, du \\ \\ \\ \int \frac{1}{\displaystyle 1+ \bigg( \frac{2}{\sqrt{3}} u \bigg)^2} \, du \\ \\ \\ v = \frac{2}{\sqrt{3}} u \\ \\ \\ dv=\frac{2}{\sqrt{3}} \, du \\ \\ \\ du = \frac{\sqrt{3}}{2} dv$

E:

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \int \frac{1}{1+v^2} \, dv \\ \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan (v) \\ \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan(\frac{2}{\sqrt{3}}u ) \\ \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot (x+\frac{1}{2}) ) \\ \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan (\frac{2}{\sqrt{3}}x+\frac{1}{\sqrt{3}} ) \\ \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}})$

A segunda integral:

$\displaystyle \int - \frac{2u}{4u^2+3} \, du \\ \\ \\ -2u \cdot \int \frac{1}{4u^2+3} \, du \\ \\ \\ v = 4u^2+3 \\ \\ dv = 8u \, du \\ \\ \\ -\frac{2u}{8u} \cdot \int \frac{1}{v} \, dv \\ \\ \\ -\frac{1}{4} \ln |v| \\ \\ \\ -\frac{1}{4} \ln |4u^2+3| \\ \\ \\ -\frac{1}{4} \ln |4 \cdot (x+\frac{1}{2})^2+3| \\ \\ \\ -\frac{1}{4} \ln |4x^2+4x+4|$

Voltando:

$\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \bigg( \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) -\frac{1}{4} \ln |4x^2+4x+4| \bigg) \\ \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan (\frac{2x+1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{6} \ln |4x^2+4x+4|$

Portanto o resultado final será:

$\displaystyle \int \frac{x}{x^3-1} \, dx \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \frac{1}{3} \ln |x-1|+\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \bigg( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \bigg) - \frac{1}{6} \ln |4x^2+4x+4| + c }}$