Question

um cone tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de altura e 100 pi cm ^3 de volume .se ele for feito de cartolinas, quanto de material sera necessário usar?

Answer 1

Boa noite! Mãos à obra, espero poder ajudar!

O texto nos fornece:

Altura do cone: h=12cm;

Volume do cone: V=100$\pi$cm³

É pedido na questão:

A quantidade de cartolina para fazer o cone, ou seja, a área lateral do cone*.

*Caso a questão pedir a quantidade total, para um cone fechado, devemos adicionar a área da base também;

Pois bem, não é difícil notar que a área lateral de um cone pode também ser entendida como parte da área de uma circunferência, que tem como raio a geratriz desse cone.

E usando essa lógica iremos resolver o problema.

Desse modo, iremos precisar:

Do raio da base do cone; e

Por que o raio? 

Desenhe o triângulo formado pela altura, raio e geratriz do cone.

Entendeu? Utilizaremos o Teorema de Pitágoras, então precisamos do raio.

Inicialmente, iremos obter o raio da base do cone, através da fórmula de seu volume:

V=$\frac{1}{3} \frac{x}{y} \pi$r²*h

Como temos o volume (V) e a altura (h), podemos isolar o r, obtendo:

r=[3V/(pi*h)]^(1/2)

r=5 cm

Com o raio da base do cone (r) em mãos, podemos achar a geratriz (g), através da aplicação do teorema de Pitágoras:

g²=h²+r²

Com isso, obtemos:

g=13 cm

Assim, podemos “abrir” a nossa lateral de cone em uma parte de uma circunferência, que tem um raio igual a geratriz encontrada.

Mas, antes, nos resta saber a circunferência da base do cone;

Por que saber a circunferência do cone?

Ora, mais adiante necessitaremos dela para comparar com a circunferência do círculo formado pela geratriz do cone.

Temos que o comprimento da circunferência é dado por:

C=2*pi*r

C_base=2*pi*5

C_base=10*pi

Agora vamos calcular a circunferência total do círculo que tem raio igual à geratriz do cone:

C_geratriz=2*pi*13

C_geratriz=26*pi

Percebe? O C_base=10*pi, pertencente a base do cone, é uma parte do C_geratriz=26*pi, do círculo com o raio igual a geratriz do cone;

Desse modo, podemos dizer que 26*pi é 100% da circunferência e que 10*pi, que representa o cone, é uma porcentagem menor dela;

Com isso, aplicamos a Regra de três:

26*pi = 100% da circunferência

10*pi = x% da circunferência

X%=100%*10/26

X=38,46%

Ou seja, área lateral do cone equivale a 38,46% da área do círculo com o raio igual a sua geratriz:

>vale lembrar que 38,46% é igual a 38,46/100, que é igual a 0,3846;
(porcento -> por cento -> /100 )

A_lateral_cone=38,46% * A_circulo_geratriz=$\frac{38,46}{100}$*A_circulo_geratriz

A_lateral_cone=0,3846*A_circulo_geratriz

A_lateral_cone=0,3846*(pi*13^2)

A_lateral_cone=65*pi cm^2

Ou seja, considerando um valor para ‘pi’ de 3,14, temos:

A_lateral_cone=204 cm²

Ou seja, para formar um cone aberto, com a cartolina, utilizaremos 204 cm² de cartolina;

Para um cone fechado, adicionaremos a base do cone:

A_base_cone=pi*r²

A_base_cone=25*pi=25*3,14=78,5 cm²

Com isso, para formar um cone fechado, necessitaríamos de aproximadamente 282,5 cm ² de cartolina.