um cone tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de altura e 100 pi cm ^3 de volume .se ele for feito de cartolinas, quanto de material sera necessário usar?
Respostas
Boa noite! Mãos à obra, espero poder ajudar!
O texto nos fornece:
Altura do cone: h=12cm;
Volume do cone: V=100cm³
É pedido na questão:
A quantidade de cartolina para fazer o cone, ou seja, a área lateral do cone*.
*Caso a questão pedir a quantidade total, para um cone fechado, devemos adicionar a área da base também;
Pois bem, não é difícil notar que a área lateral de um cone pode também ser entendida como parte da área de uma circunferência, que tem como raio a geratriz desse cone.
E usando essa lógica iremos resolver o problema.
Desse modo, iremos precisar:
Do raio da base do cone; e
Por que o raio?
Desenhe o triângulo formado pela altura, raio e geratriz do cone.
Entendeu? Utilizaremos o Teorema de Pitágoras, então precisamos do raio.
Inicialmente, iremos obter o raio da base do cone, através da fórmula de seu volume:
V=r²*h
Como temos o volume (V) e a altura (h), podemos isolar o r, obtendo:
r=[3V/(pi*h)]^(1/2)
r=5 cm
Com o raio da base do cone (r) em mãos, podemos achar a geratriz (g), através da aplicação do teorema de Pitágoras:
g²=h²+r²
Com isso, obtemos:
g=13 cm
Assim, podemos “abrir” a nossa lateral de cone em uma parte de uma circunferência, que tem um raio igual a geratriz encontrada.
Mas, antes, nos resta saber a circunferência da base do cone;
Por que saber a circunferência do cone?
Ora, mais adiante necessitaremos dela para comparar com a circunferência do círculo formado pela geratriz do cone.
Temos que o comprimento da circunferência é dado por:
C=2*pi*r
C_base=2*pi*5
C_base=10*pi
Agora vamos calcular a circunferência total do círculo que tem raio igual à geratriz do cone:
C_geratriz=2*pi*13
C_geratriz=26*pi
Percebe? O C_base=10*pi, pertencente a base do cone, é uma parte do C_geratriz=26*pi, do círculo com o raio igual a geratriz do cone;
Desse modo, podemos dizer que 26*pi é 100% da circunferência e que 10*pi, que representa o cone, é uma porcentagem menor dela;
Com isso, aplicamos a Regra de três:
26*pi = 100% da circunferência
10*pi = x% da circunferência
X%=100%*10/26
X=38,46%
Ou seja, área lateral do cone equivale a 38,46% da área do círculo com o raio igual a sua geratriz:
>vale lembrar que 38,46% é igual a 38,46/100, que é igual
a 0,3846;
(porcento -> por cento -> /100 )
A_lateral_cone=38,46% * A_circulo_geratriz=*A_circulo_geratriz
A_lateral_cone=0,3846*A_circulo_geratriz
A_lateral_cone=0,3846*(pi*13^2)
A_lateral_cone=65*pi cm^2
Ou seja, considerando um valor para ‘pi’ de 3,14, temos:
A_lateral_cone=204 cm²
Ou seja, para formar um cone aberto, com a cartolina, utilizaremos 204 cm² de cartolina;
Para um cone fechado, adicionaremos a base do cone:
A_base_cone=pi*r²
A_base_cone=25*pi=25*3,14=78,5 cm²
Com isso, para formar um cone fechado, necessitaríamos de aproximadamente 282,5 cm ² de cartolina.