Question

quem souber responder, vai me ajudar muito.

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Answer 1

1)

a) Como a função não está definida para x = 4, precisamos manipulá-la para evitar a indeterminação 0/0:  

Então:

Fatorando o polinômio no numerador, temos:  

x² – 7x 12 = (x – 4) . (x – 3)

Substituindo:

$\lim_{x \to \ 4} \frac{(x \ - \ 4).(x \ - \ 3)}{(x \ - \ 4)}$

Agora, cancelamos o (x - 4) no numerador com o do denominador. Podemos fazer isso pois o x tende a 4, mas nunca será igual ao próprio:

Temos:

$\lim_{x \to \ 4} (x \ - \ 3)$

Aplicando a substituição direta, vem:

4 - 3 = 1

Logo:

$\lim_{x \to \ 4} (\frac{x^{2} \ - \ 7x \ + \ 12}{x \ - \ 4})$ = 1

b) Mesmo caso da questão anterior. Precisamos manipular:

$\lim_{x \to \ -2} (\frac{x^{4} \ - \ 3x^{2} \ + \ 2x}{x^{3} \ - \ 4x})$

Fatorando os polinômios:

$x^{4} \ - \ 3x^{2} \ + \ 2x$ = (x + 2).(x³ - 2x² +x)

x³ - 4x = (x + 2).(x² - 2x)

Substituindo:

$\lim_{x \to \ -2} \frac{(x \ + \ 2).(x^{3} \ - \ 2x^{2} \ + \ x)}{(x \ + \ 2).(x^{2} \ - \ 2x)}$

Cortando os termos iguais:

$\lim_{x \to \ -2} \frac{(x^{3} \ - \ 2x^{2} \ + \ x)}{(x^{2} \ - \ 2x)}$

Aplicando a substituição direta, temos:

$\frac{(-2)^{3} \ - \ 2.(-2)^{2} \ + \ (-2)}{(-2)^{2} \ - \ 2.(-2)}$ = $\frac{-8 \ - \ 2.(4) \ - \ 2}{4 \ + \ 4}$ = $\frac{-8 \ - \ 8 \ - \ 2}{4 \ + \ 4}$ = $\frac{-18}{8}$ = $\frac{-9}{4}$

Portanto:

$\lim_{x \to \ -2} (\frac{x^{4} \ - \ 3x^{2} \ + \ 2x}{x^{3} \ - \ 4x})$ = $\frac{-9}{4}$

c) Mesmo caso:

x² - 4 = Produto notável: é o produto da soma pela diferença.
x² - 2² = (x + 2).(x - 2)

$\lim_{x \to \ 2} (\frac{x^{3} \ - \ 8}{x^{2} \ - \ 4})$ = $\lim_{x \to \ 2} \frac{(x \ - \ 2).(x^{2} \ - \ 2x \ + \ 4)}{(x \ + \ 2).(x \ - \ 2)}$ = $\lim_{x \to \ 2} \frac{(x^{2} \ - \ 2x \ + \ 4)}{(x \ + \ 2)}$

Aplicando a regra da substituição direta:

$\frac{(2)^{2} \ - \ 2.(2) \ + \ 4}{2 \ + \ 2}$ = $\frac{4 \ - \ 4 \ + \ 4}{2 \ + \ 2}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Portanto:

$\lim_{x \to \ 2} (\frac{x^{3} \ - \ 8}{x^{2} \ - \ 4})$ = 1

d) Mesmo caso, mas neste aqui, temos que multiplicar toda função pelo conjugado da função do numerador:

$\lim_{x \to \ 0} (\frac{\sqrt{x \ + \ 2} \ - \ \sqrt{2}}{x}) \ . \ (\frac{\sqrt{x \ + \ 2} \ + \ \sqrt{2}}{\sqrt{x \ + \ 2} \ + \ \sqrt{2}})$ = $\lim_{x \to \ 0} \frac{(\sqrt{x \ + \ 2})^{2} \ - \ (\sqrt{2})^{2}}{(x).(\sqrt{x \ + \ 2} \ + \ \sqrt{2})}$ = $\lim_{x \to \ 0} \frac{x \ + \ 2 \ - \ 2}{(x).(\sqrt{x \ + \ 2} \ + \ \sqrt{2})}$ = $\lim_{x \to \ 0} \frac{x}{(x).(\sqrt{x \ + \ 2} \ + \ \sqrt{2})}$ = $\lim_{x \to \ 0} \frac{1}{(\sqrt{x \ + \ 2} \ + \ \sqrt{2})}$

Aplicando a substituição:

$\frac{1}{(\sqrt{0 \ + \ 2} \ + \ \sqrt{2})}$ = $\frac{1}{\sqrt{2} \ + \ \sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2. \sqrt{2}}$

Racionalizando:

$\frac{1}{2. \sqrt{2}} \ . \ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2.(\sqrt{2})^{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2.2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Logo:

$\lim_{x \to \ 0} (\frac{\sqrt{x \ + \ 2} \ - \ \sqrt{2}}{x})$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$


2) É só aplicar a substituição direta:

2k + 4 - 3x³ = 12
2k + 4 - 3.(-2)³ = 12
2k + 4 - 3.(-8) = 12
2k + 4 + 24 = 12
2k = 12 - 4 - 24
2k = -16
k = -16/2
k = -8

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