Question

determinar uma equação geral do plano nos seguintes casos:O plano contém o ponto A(4, 1, 1) e é perpendicular aos planos n 1: 2x + y - 3z = O e n2: x + y - 2z - 3 = O

Answer 1

Temos os planos e seus vetores normais respectivamente:

$\pi_{1}: \, 2x+y-3z=0 \\ \\ \pi_{2}: \, x+y-2z-3=0 \\ \\ === \\ \\ \vec{n}_{1} = (2,1,-3) \\ \\ \vec{n}_{2}=(1,1,-2)$

Se o plano procurado de vetor normal n3 = (a,b,c) forma um angulo de 90º com os planos dados, então isso implica em:

$\vec{n}_{3} \cdot \vec{n}_{1} = 0 \\ \\ (a,b,c) \cdot (2,1,-3)=0 \\ \\ 2a+b-3c=0 \\ \\ === \\ \\ \vec{n}_{3} \cdot \vec{n}_{2} = 0 \\ \\ (a,b,c) \cdot (1,1,-2) = 0 \\ \\ a+b-2c=0$

Daí temos o seguinte sistema linear:

$\displaystyle \left \{ {{2a+b-3c=0} \atop {a+b-2c=0}} \right.$

Multiplicando o segundo membro por -1 obtemos:

$\displaystyle \left \{ {{2a+b-3c=0} \atop {-a-b+2c=0}} \right. \\ \\ \\ a-c=0 \\ \\ c=a \\ \\ === \\ \\ 2a+b-3c=0 \\ \\ 2a+b-3a=0 \\ \\ b-a=0 \\ \\ b=a$

Se supormos que a = 2, e de acordo com a resolução do sistema linear, teremos b = 2 e c = 2, daí o vetor normal ao plano procurado será:

$\vec{n}= (2,2,2)$

Agora vamos considerar a seguinte expressão com a = (4,1,1) e o vetor normal encontrado, daí teremos a seguinte equação geral do plano:

$\displaystyle \vec{ax} \cdot \vec{n} = 0 \\ \\ \\ \bigg( x-a \bigg) \cdot \vec{n} = 0 \\ \\ \\ \bigg( (x,y,z) - (4,1,1) \bigg) \cdot (2,2,2) = 0 \\ \\ \\ (x-4,y-1,z-1) \cdot (2,2,2) = 0 \\ \\ \\ 2x-8+2y-2+2z-2 \\ \\ \\ \boxed{ \pi: \, 2x+2y+2x-12=0}$