Question

Joel e Jane fazem parte de um grupo de dez atores: 4 mulheres e 6 homens. Se duas mulheres e três homens forem escolhidos para compor o elenco de uma peça teatral , qual é a probabilidade de Joel e Jane juntos, estejam entre eles?

Answer 1

Grupo de 10 atores disponíveis para formar equipes, sendo

     4  mulheres  e  6  homens.

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     •   Quantidade de elementos do espaço amostral  n(S).

De quantas formas podemos compor uma equipe de  5  pessoas, sendo  2  mulheres (entre  4  possíveis)  e  3  homens  (entre  6  possíveis)?

Aqui, devemos fazer cálculos de combinações simples:

     $n(S)=C_{4,\,2}\cdot C_{6,\,3}\\\\\\ n(S)=\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}\cdot \dfrac{6!}{3!\cdot (6-3)!} \\\\\\n(S)=\dfrac{4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\!\! 2!}{\diagup\!\!\!\!\! 2!\cdot 2!}\cdot \dfrac{6\cdot 5\cdot 4\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}{\diagup\!\!\!\!\! 3!\cdot 3!}\\\\\\ n(S)=\dfrac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\cdot \dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\\\\\\ n(S)=\dfrac{12}{2}\cdot \dfrac{120}{6}\\\\\\ n(S)=\dfrac{12\cdot 120}{2\cdot 6}\\\\\\ n(S)=120$

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     •   Quantidade de elementos do evento  n(E).

     Evento  E:   Joel e Jane fazem ambos parte da equipe.


Nesse caso, dos 10 atores disponíveis, já determinamos dois como parte da equipe. Uma mulher e um homem.

Assim, para as outras vagas devemos escolher ainda mais

     1  mulher  (entre  3  restantes)  e  2  homens  (entre  5  restantes):


A quantidade de possibilidades de equipes nesse formato é

     $n(E)=C_{3,\,1}\cdot C_{5,\,2}\\\\\\ n(E)=3\cdot \dfrac{5!}{2!\cdot (5-2)!}\\\\\\ n(E)=3\cdot \dfrac{5\cdot 4\cdot \diagup\!\!\!\!\! 3!}{2!\cdot \diagup\!\!\!\!\!3!}\\\\\\ n(E)=3\cdot \dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\\\\\\ n(E)=3\cdot \dfrac{20}{2}\\\\\\ n(E)=3\cdot 10$

     $n(E)=30$

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Então, a probabilidade procurada é

     $p=\dfrac{\textsf{n\'umero de casos favor\'aveis}}{\textsf{n\'umero de casos poss\'iveis}}\\\\\\ p=\dfrac{n(E)}{n(S)}\\\\\\ p=\dfrac{30}{120}$

      $p=\dfrac{1}{4}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)