Question

dois capitais somam R$11.000,00 foram aplicados em instituições financeiras diferentes.O primeiro capital foi a 20% ao ano;capitalizado trimestralmente e o outro foi à 18% ao ano capitalizado mensalmente.No final de três anos e nove meses produziram juros iguais.Quais foram esses capitais?

Answer 1

C1 + C2 = 11000  (os dois capitais somam 11000)

20%aa trimestralmente é o mesmo que 
(1+20%) = (1+x)^4 
1,2 = (1+x)^4
tirando a raiz 4 temos
1,046635 = 1 +x
x  = 0,046635
Ou seja, 20% ao ano é igual a 0,046635 ao trimestre

O outro capital foi aplicado a 18%aa só que mensalmente
Então
(1+18%) = (1+x)^12
1,18 = (1+x)^12
tirando a raiz "dôzima) temos
1,013888 = 1 + x
x = 0,01388 ao mês

No fim de 3 anos e 9 meses, ou seja, depois de 3*12 + 9 = 36 + 9 = 45 meses os juros foram iguais.
45 meses tem quantos trimestres ? no caso, tem 45/3 = 15 trimestres

Os juros do capital 1 são capital * ((1+taxa)^período)-1)
os juros de C1 são calculados
C1 * (((1+0,046635)^15)-1)
C1 *  0,9812022

Isso daí é igual aos juros gerados pelo C2 que é dado pela fórmula
C2 * (((1+0,01388)^45)-1)
C2 *  0,8594951

C1 *  0,9812022 = C2 *  0,8594951

e sabemos que C1 + C2 = 11000
C1 = 11000 - C2

Vamos substituir

Então temos duas equações e duas incógnitas. Dá para resolver

(11000 - C2)*0,9812022 = C2 *  0,8594951
10793,224 - 0,9812022*C2 = 0,8594951*C2
10793,224 = 1,8407*C2 
C2 =  5863,6606
Então C1 = 11000 - C2
C1 = 11000 -  5863,6606
C1 =  5136,3394

Vejamos
Juros1 = C1 * 0,9812022
Juros2 = C2 * 0,8594951
Juros1 = 5136,3394 * 0,9812022 =  5039,7875
Juros2 = 5863,6606 * 0,8594951 =  5039,7875

Tá certo