Question

Uma esteira está transportando areia e despejando-a em forma de um cone. O raio da base r=r(t) e a altura h=h(t) variam com o tempo. No instante em que a altura vale 10 cm, ela está aumentando a uma taxa de 2cm/s e, nesse mesmo instante, o raio da base vale 12cm e está aumentando a uma taxa de 1cm/s. Calcule a taxa de variação do volume do cone neste instante. Adote π=3.

Answer 1

O volume de um cone é definido por pela fórmula:

$V= \frac{\pi r^{2} h}{3}$

Portanto a variação de volume nesse cone, no tempo de 1 segundo pode ser expressa como  a variação do volume do cone nesse segundo, por tanto podemos expressas da seguinte forma:

$V_{(0)}=\ \textgreater \ V_{(1)}$

A variação do volume do cone em um segundo portantao parta o segundo 0 é:

$V_{(0)}= \frac{\pi r^{2} h}{3}= \frac{3 *12^{2}* 10}{3}=1440 cm^{3}$

O volume do cone após um segundo é dado por:

$V_{(1)}= \frac{\pi r^{2} h}{3}= \frac{3 *13^{2}* 12}{3}=2028 cm^{3}$


Portanto a variação de volume em um segundo é de $2028-1440 = 588 \frac{cm^{3}}{s}$, que é a variação do volume do cone do segundo 0 ao segundo 1.