Question

alguém pode me ajudar a resolver essa função modular? se possível com as verificações também.
$| \frac{x + 2}{x - 2}| = 5$

Answer 1

Bom dia Yasmin!

Então, nessa equação modular, toda a operação algébrica está dentro do módulo, ou seja, tanto faz se o resultado der negativo, ele vai ir pra positivo por causa do módulo; em outras palavras como está igual a 5; se eu obter +5 ou -5 dentro do módulo, eu vou obter 5 do mesmo jeito..

Então vamos fazer isso, iguale a fração a +5 e depois a -5 e resolva:

Antes disso, como a fração tem uma incógnita no denominador; vamos definir as condições de existência:

x-2=0
x=2

Portanto; o x não pode valer 2, se não fica divisão por zero!

Condições de existência:
x≠2

Agora vamos a solução:

$\frac{x+2}{x-2} = 5$

x + 2 = 5(x - 2)
x + 2 = 5x -10
x -5x = -10 -2
-4x = -12 (Multiplica por -1)
4x = 12
x= 12/4
x=3 => Uma das raízes é 3

$\frac{x+2}{x-2} = -5$

x + 2 = -5(x - 2) (Passei multiplicando de novo)
x + 2 = -5x + 10
x + 5x = 10 - 2
6x = 8
x = 8/6 (Simplifica a fração)
x= 4/3 => Aqui está a outra raiz

As raízes estão dentro do intervalo de resposta permitido, ou seja, não são iguais a 2, então as duas são válidas:

Portanto, S = {x ∈ R | x = 3 ou x = 4/3}

Se quiser tirar a prova:

$\frac{3+2}{3-2} = 5$
$\frac{5}{1} = 5$
|5| = 5
Verdadeiro

$\frac{4/3 + 2}{4/3 - 2} = 5$
Fazendo o mmc e simplificando as frações:
$\frac{10/3}{-2/3}$
Divisão de fração, multiplica pelo inverso do denominador:
$\frac{10}{3}$ . $\frac{3}{-2}$

$\frac{30}{-6}$
|-5| = 5
Verdadeiro

Espero ter ajudado!
Qualquer dúvida pode perguntar...
Deus abençoe!