Question

1) O estudo das estruturas algébricas é importante por possibilitar a compreensão, dentre outros, das propriedades associadas às operações definidas a partir de diferentes conjuntos.
Dentre os diversos conteúdos abordados na Educação Básica, associados à Álgebra, podemos destacar os produtos notáveis, que correspondem a expressões que podem nos auxiliar na compreensão das operações algébricas, monômios, polinômios, entre outros.
Considerando as operações usuais de adição, subtração e multiplicação, definidas sobre o conjunto dos números reais, analise as igualdades apresentada no que segue:

Com base nas operações destacadas, definidas sobre o conjunto de números reais, que propriedades são empregadas, respectivamente, nas expressões 1, 2 e 3, apresentadas anteriormente?
Alternativas:
a) Existência de elemento neutro em relação à multiplicação, comutatividade e associatividade.
b) Distributividade, associatividade e existência de elemento simétrico em relação à adição.
c) Comutatividade, associatividade e existência de elemento neutro em relação à multiplicação.
d) Comutatividade, existência de elemento simétrico em relação à subtração e distributividade.
e) Distributividade, comutatividade e associatividade.
2) Uma das principais estruturas estudada pela Álgebra é a de grupos. Podemos definir os grupos em função de seus elementos e propriedades características.
Considerando este tema, analise as definições apresentadas no que segue a respeito da teoria de grupos:
Definição 1: Um grupo é um conjunto C não vazio, a partir do qual está definida uma operação binária *, fechada em relação a C, e que satisfaz as seguintes propriedades:
I. Para quaisquer x, y e z pertencentes a C temos x*(y*z) = (x*y)*z.
II. Existe e pertencente a C tal que x*e = e*x = x para todo x pertencente a C;
III. Para cada x pertencente a C existe x-1 pertencente a C tal que x*(x-1) = (x-1)*x = e;
Definição 2: Um grupo é um conjunto S não vazio, a partir do qual está definida uma operação binária *, fechada em relação a S, e que satisfaz as propriedades apresentadas no que segue:
I. x*e = e*x = x para todo x pertencente a S e todo e pertencente a S;
II. Para quaisquer x e y pertencentes a S temos x*y = y*x.
III. Existem x e x-1 pertencentes a S tais que x*(x-1) = e;
Definição 3: Um grupo é um conjunto B não vazio, a partir do qual está definida uma operação binária *, fechada em relação a B, e que satisfaz as propriedades seguintes:
I. Existe x pertencente a B tal que x*e = e*x = x para todo e pertencente a B;
II. Existem x, y e z pertencentes a B tais que x*(y*z) = x*y*(x*z).
III. Para qualquer x pertencente a B existe y pertencente a B tal que x*y = y*x = e;
Considerando as informações que compõem as definições 1, 2 e 3, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a) Apenas a definição 1 está coerente com a estrutura de grupo.
b) Apenas a definição 2 está coerente com a estrutura de grupo.
c) Apenas a definição 3 está coerente com a estrutura de grupo.
d) Apenas as definições 1 e 2 estão coerentes com a estrutura de grupo.
e) Apenas as definições 2 e 3 estão coerentes com a estrutura de grupo.
3) Considerando as características dos anéis e das estruturas associadas, analise as afirmações apresentadas no que segue, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Seja o conjunto das matrizes quadradas de ordem 3 compostas por números reais (M3(R)), considerando as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de matrizes. Assim, a estrutura (M3(R), +, . ) pode ser classificada como um anel com unidade não comutativo.
( ) Seja o conjunto composto por todos os números inteiros múltiplos de 3 (3Z), considerando as operações usuais de adição e multiplicação derivada do conjunto dos números inteiros. Assim, a estrutura (3Z, +, . ) não pode ser classificada como um anel.
( ) Seja o conjunto dos números racionais (Q), considerando as operações usuais de adição e multiplicação. Assim, a estrutura (Q, +, .) pode ser classificada como um domínio de integridade.
Assinale a alternativa que indica a sequência de classificações corretamente, considerando a ordem na qual as afirmações foram apresentadas:
Alternativas:
a) V – V – F.
b) V – F – F.
c) V – F – V.
d) F – V – F.
e) F – F – V.

Answer 1

1 – b) Distributividade, associatividade e existência de elemento simétrico em relação à adição.

Existe uma diversidade de conteúdos da educação básica que estão associados à álgebra, são exemplos os produtos notáveis, os monômios e os polinômios. Além das propriedades da distributividade e da associatividade.

2 – a) Apenas a definição 1 está coerente com a estrutura de grupo.

A definição de grupo consiste no conjunto C não vazio, que realiza a definição de uma operação binária que se encontra fechada em relação a C.

3 – c) V – F – V.

O conjunto de matrizes quadradas de ordem 3 compostas por números reais (M3(R)) devem considerar as operações básicas de adição e multiplicação de matrizes.

Bons estudos!