Question

Assinale a alternativa correta, que corresponde aos autovalores associados a matriz A.

Escolha uma:
a. Somente I está correta.
b. Somente III está correta.
c. Somente II está correta.
d. Somente IV está correta.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Amanda, que há uma regra bem prática pra encontrar os autovalores associados a uma matriz. Vamos informar como se acham esses autovalores de forma bem passo a passo para um melhor entendimento.

i) A matriz dada é esta:

A = |8....3|
.......|2....7|

ii) Agora vamos tomar a diagonal principal (que é a diagonal que contém o elemento "8" e o elemento "7") e vamos subtrair λ (letra grega lambda) de cada um desses dois elementos da diagonal principal. Assim, ficaremos:

A = |8-λ .....3|
.......|2......7-λ|

iii) Agora igualaremos a matriz a zero e encontramos qual é seu determinante. Assim teremos:

|8-λ.....3| = 0 ----- desenvolvendo, teremos isto:
|2.....7-λ|

(8-λ)*(7-λ) - 2*3 = 0 ----- desenvolvendo esses produtos, teremos:
 
56-8λ-7λ+λ² - 6 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
50 - 15λ + λ² = 0 ---- ordenando, teremos:
λ² - 15λ + 50 = 0 ----- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes:

λ₁ = 10
λ₂ = 5

iv) Assim, resumindo, temos que os autovalores associados à matriz dada são as raízes da nossa equação do segundo grau, que são estes:

λ₁ = 10 ; λ₂ = 5 <--- Esta é a resposta.

Verificando as opções dadas, então a única opção correta é da opção "a", que diz isto:

a) Somente I está correta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.