Question

Calcule a integral indefinida $\displaystyle \mathsf{ \int \frac{\sqrt{1+x^4}}{x} } \, \mathsf{ dx }$

Answer 1

Faremos por parte, acompanhe:

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+x^4}}{x} \cdot 1 \, dx \\ \\ \\ \frac{\sqrt{1+x^4}}{x} \cdot x - \int \frac{x^4-1}{x^2\sqrt{1+x^4}} \cdot x \, dx \\ \\ \\ \sqrt{1+x^4} - \int \frac{x^4-1}{x\sqrt{1+x^4}} \, dx \\ \\ \\ \sqrt{1+x^4} - \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^4}} - \frac{1}{x\sqrt{1+x^4}} \, dx \\ \\ \\ \sqrt{1+x^4} - \bigg( \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^4}} \, dx - \int \frac{1}{x\sqrt{1+x^4}} \, dx \bigg)$

Veja a resolução da primeira integral:

$\displaystyle \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^4}} \, dx \\ \\ \\ x^3 \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx \\ \\ \\ u = x^4 \\ \\ du = 4x^3 \, dx \\ \\ \\ \frac{x^3}{4x^3} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1+u}} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1+u}} \, du$

Teremos que fazer uma nova substituição:

$\displaystyle v = 1+u \\ \\ dv = du \\ \\ \\ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{v}} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{4} \cdot 2 \sqrt{v} \\ \\ \\ \frac{1}{2} \sqrt{1+u} \\ \\ \\ \boxed{ \frac{1}{2} \sqrt{1+x^4} }$

Agora da segunda integral, lembrando que nela teremos que aplicar duas substituições e uma integral por frações parciais, acompanhe:

$\displaystyle \int \frac{1}{x\sqrt{1+x^4}} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{x} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx \\ \\ \\ u = x^4 \\ \\ du=4x^3 \, dx \\ \\ dx = \frac{1}{4x^3} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{4x^3} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1+u}} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{4x^4} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1+u}} \, du \\ \\ \\ \frac{1}{4u} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1+u}} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1+u}} \, du$

Fazendo:

$\displaystyle v = \sqrt{1+u} \longrightarrow u=v^2-1 \\ \\ dv = \frac{1}{2\sqrt{1+u}} \, du \\ \\ \\ du = 2\sqrt{1+u} \, \, dv$

Obtemos:

$\displaystyle \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u} \cdot 2\sqrt{1+u} \cdot \int \frac{1}{v} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{1+u}}{u} \cdot \int \frac{1}{v} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\sqrt{1+u}}{u \cdot v} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{v}{(v^2-1) \cdot v} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v^2-1} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{(v-1) \cdot (v+1)} \, dv$

Vamos aplicar frações parciais:

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \int \frac{A}{v-1} + \frac{B}{v+1} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{A \cdot (v+1)+B \cdot (v-1)}{(v-1) \cdot (v+1)} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{Av+A+Bv-B}{(v-1) \cdot (v+1)} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{(A+B)v+A-B}{(v-1) \cdot (v+1)} \, dv$

Comparando os numeradores,

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \int \frac{0v+1}{(v-1) \cdot (v+1)} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{(A+B)v+A-B}{(v-1) \cdot (v+1)} \, dv$

obtemos o seguinte sistema linear, e resolvendo-o, chegamos aos valores de A e B:

$\displaystyle \left \{ {{A+B=0} \atop {A-B=1}} \right. \\ \\ \\ A = \frac{1}{2} \\ \\ B=-\frac{1}{2}$

Daí temos a seguinte integral:

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \int \frac{A}{v-1} + \frac{B}{v+1} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{v-1} + \frac{\displaystyle -\frac{1}{2}}{v+1} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{2 \cdot (v-1)} - \frac{1}{2 \cdot (v+1)} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v-1} - \frac{1}{ v+1} \, dv \\ \\ \\ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{v-1} - \frac{1}{ v+1} \, dv$

E chegamos ao seguinte resultado:

$\displaystyle \frac{1}{4} \cdot \bigg( \ln |v-1| - \ln |v+1| \bigg) \\ \\ \\ \frac{1}{4}\ln|v-1| - \frac{1}{4}\ln |v+1| \\ \\ \\ \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+u}-1| - \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+u}+1| \\ \\ \\ \boxed{ \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}-1| - \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}+1| }$

Voltando na primeira expressão, temos:

$\displaystyle \sqrt{1+x^4} - \bigg( \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^4}} \, dx - \int \frac{1}{x\sqrt{1+x^4}} \, dx \bigg) \\ \\ \\ \sqrt{1+x^4} - \bigg( \frac{1}{2} \sqrt{1+x^4} - \bigg( \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}-1| - \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}+1| \bigg) \bigg) \\ \\ \\ \sqrt{1+x^4} - \bigg( \frac{1}{2} \sqrt{1+x^4} - \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}-1| + \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}+1| \bigg)$

$\displaystyle \sqrt{1+x^4} - \frac{1}{2} \sqrt{1+x^4} + \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}-1| - \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}+1| \\ \\ \\ \frac{1}{2} \sqrt{1+x^4} + \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}-1| - \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}+1|$

Portanto, o resultado final é:

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+x^4}}{x} \, dx = \\ \\ \\ \boxed{\boxed{ \frac{1}{2} \sqrt{1+x^4} + \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}-1| - \frac{1}{4}\ln |\sqrt{1+x^4}+1| + c }}$