Question

Determine o quinto termo de uma pg infinita decrescente se a soma de todos os termos é 9 e a soma dos quadrados de todos os termos é 81/2

Answer 1

Em uma PG infinita a soma dos termos é dada por:

S = a1/(1 - q)
9 = a1/(1 - q)       isole a1:
a1 = 9(1 - q)

Note que se elevarmos todos os termos de uma PG ao quadrado sua razão também é elevada ao quadrado, assim:

S' = a1²/(1 - q²)
81/2 = a1²/(1 - q²)          substitua a1:
81/2 = (9(1 - q)²/(1 - q²)     <<< faça a distributiva 
81/2 = 81.(1 - q)²/(1 - q²) 

Lembre-se que: (a - b)(a + b) = a² - b², assim:
81/2 = 81.(1 - q)²/(1 - q²) 
81/2 = 81.(1 - q)²/(1 - q)(1 + q)        cortando:
81/2 = 81.(1 - q)/(1 + q)                divida em cima e embaixo por 81
1/2 = (1 - q)/(1 + q)                     faça multiplicação cruzada:
1(1 + q) = 2.(1 - q)
1 + q = 2 - 2q 
1 - 2 = -2q - q
-1 = -3q
q = -1/-3
q = 1/3

Agora vamos achar o primeiro termo:
a1 = 9(1 - q)
a1 = 9(1 - (1/3))        faça a distributiva:
a1 = 9 - 3
a1 = 6

Agora que temos o a1 e a razão, basta achar o quinto termo:
a5 = a1 . q^4
a5 = 6 . (1/3)^4
a5 = 6 . (1/81)
a5 = 6/81        simplifique por 3
a5 = 2/27

Bons estudos