Question

Desafio para os inteligentes.


Necessito de ajuda com a resolução dessa EDO

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} =2+x$.

Answer 1

Desafio a parte, 

Note que para esse tipo de EDO é melhor encontrar um fato integrante. Como essa equação é do tipo linear, então existe uma maneira padrão de resolver.

Denote por ω o fator integrante em termos de x. Fazemos o seguinte:

$\omega(x) \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2} \omega(x)y=(2+x)\omega(x)$

$\displaystyle\frac{d\omega(x)y}{y}=\omega(x) \frac{dy}{dx}+ \frac{d\omega(x)}{dx}y$


Compare o termo que consta o fator integrante, e depois resolva a equação de variáveis separáveis. Você deve obter  
$\omega(x)=Ke^{x/2}$.

Tomando K=1, teremos $\omega(x)=e^{x/2}$.

$\frac{d(e^{x/2}y)}{dx}=e^{x/2} \frac{dy}{dx}+ \frac{1}{2}e^{x/2}y=(2+x)e^{x/2}$.

Integre com respeito a variável x, e você vai ter

$e^{x/2}y=x2e^{x/2}+m$,

integre por partes o primeiro termo, e disso vai seguir

$y(x)=2x+m.e^{-x/2}$

será a solução geral.

Bons estudos.