Question

A função que determina o lucro L de uma empresa, em milhões de reais, é dada pela seguinte lei: L(x) = –3x2 + 186x – 183, sendo x o número de unidades vendidas (em milhares).
a) Determine o intervalo de variação do número de unidades comercializadas a fim de que a empresa tenha lucro, isto é, os valores de x tais que L > 0.
b) Quantas unidades devem ser comercializadas para que se obtenha o máximo lucro?
c) Qual o faturamento (em R$) máximo dessa empresa?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Michelecaroline, que a resolução é simples. É apenas um pouquinho trabalhosa, pois são pedidas três informações e isto demora um pouco.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que a função lucro de uma empresa é dada por:

L(x) = - 3x² + 186x - 183

ii) Agora vamos ao que está sendo pedido:

ii.a) Determine o intervalo de variação do número de unidades comercializadas,  a fim de que a empresa tenha lucro, isto é, os valores de x tais que L > 0.

Veja: isso ocorrerá quando "x" estiver entre as raízes da equação dada,pois tratando-se de uma equação do 2º grau que tem o seu termo "a" negativo [o termo "a" é o coeficiente de x²) então L(x) será positivo para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes)].
Note que, para encontrar as raízes, deveremos igualar L(x) a zero. Assim, teremos:

-3x² + 186x - 183 = 0  --------- note que se você aplicar Bháskara nesta equação vai encontrar que as raízes serão estas:

x' = 1
x'' = 61

Então L(x) será positivo no intervalo aberto entre "1" e "61", ou seja:

1 < x < 61 ---- Este será o intervalo em que haverá lucro. Ou seja, esta é a resposta para a questão do item "a".

Se você quiser, poderá apresentar o intervalo acima da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = (1; 61).

ii.b) Quantas unidades devem ser comercializadas para que se obtenha o máximo lucro?

Veja: para isso, basta você aplicar a fórmula do "x" do vértice (xv) da parábola da equação. A fórmula do "x" do vértice é esta:

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "186" e "a" por (-3), teremos (vide os coeficientes da nossa função, que é esta: L(x) = - 3x² + 186x - 183). Assim:

xv = -186/2*(-3)
xv = - 186/-6 ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, então temos:
xv = 186/6 ---- note que esta divisão dá exatamente igual a "31". Logo:
xv = 31 unidades <--- Esta é a resposta para a questão do item "b". Ou seja, esta é a quantidade que deve ser comercializada para que o lucro seja máximo.

ii.c) Qual o faturamento (em R$) máximo dessa empresa?

Note que há duas formas para isso. Ou você poderá substituir na equação dada [L(x) = - 3+186x-183] o "x" por "31", que é a quantidade máxima comercializada para que a empresa tenha lucro, ou você encontra o "y" do vértice pela sua fórmula, que é esta: yv = - (b²-4ac)/4a.

- Inicialmente vamos substituir "x" por "31" na equação original, que é esta:

- 3x² + 186x - 183 ---- substituindo-se "x' por "31", teremos:
- 3*(31)² + 186*31 - 183 = - 3*961 + 5.766 - 183 = - 2.883 + 5.766 - 183 =
= 5.766 - 2.883 - 183 = - 5.766 - 3.066 = 2.700 <--- Este será o faturamento máximo, substituindo-se simplesmente o "x' por "31" na equação original. Ou seja, esta é a resposta para a questão do item "c".

- Agora vamos encontrar o "y" do vértice pela sua fórmula a partir da equação original, que é esta: L(x) = - 3x² + 186x - 183. A fórmula do "y" do vértice (yv) é esta:

yv = - (b²-4ac)/4a ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
yv = - (186² - 4*(-3)*(-183)/4*(-3)
yv = - (34.596 - 2.196)/-12
yv = - (32.400)/-12 --- ou apenas:
yv = -32.400/-12 ---- como, na divisão, menos com menos dá mais, então:
yv = 32.400/12 --- note que esta divisão dá exatamente "2.700". Logo:
yv = 2.700,00 <--- Veja que a resposta é a mesma. Com isso, demonstra-se que, em matemática, é indiferente o método para encontrar determinado resultado. O importante é que o método utilizado seja o correto.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.