Question

Um triângulo retângulo tem os lados cujas medidas são a, a+1 e a+2.A soma dos lados desse triângulo vale :

Answer 1

Olá.

Nessa tarefa será usada uma propriedade de produtos notáveis: quadrado da soma de dois termos.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

A hipotenusa sempre será maior que do que cada um dos catetos em seu valor unitário. Usando o teorema de Pitágoras (h² = c² + c²), é possível afirmar que o lado maior é a hipotenusa. Teremos:

h² = c² + c²
(a + 2)² = (a)² + (a + 1)²

Aplicando a supracitada propriedade de produtos notáveis, vamos aos cálculos.

(a + 2)² = (a)² + (a + 1)²
(a² + 2*a*2 + 2²) = a² + (a² + 2*a*1 + 1²)
a² + 4a + 4 = a² + (a² + 2a + 1)
a² + 4a + 4 = a² + a² + 2a + 1
a² + 4a + 4 = 2a² + 2a + 1
a² - 2a² + 4a - 2a + 4 - 1 = 0
- a² + 2a + 3 = 0

Temos uma equação de 2° grau e deveremos resolver como tal. Para encontrar os coeficientes, uso a forma ax² + bx + c = 0. Teremos:

a = -1
b = 2
c = 3

Usarei a Fórmula de Bháskara para encontrar as raízes:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Aplicando e desenvolvendo, teremos:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-2\pm\sqrt{(2)^2-4(-1)(3)}}{2(-1)}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4-4(-3)}}{-2}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12}}{-2}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{-2}}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-2\pm4}{-2}}$

Separando as raízes pelo sinal do x, vamos buscar a raiz que seja positiva.

$\mathsf{x'=\dfrac{-2+4}{-2}=\dfrac{4}{-2}=-2~~X}\\\\\\\mathsf{x''=\dfrac{-2-4}{-2}=\dfrac{-6}{-2}=3~~\checkmark}$

O valor de x equivale ao valor de a, logo, a vale 3. Sabendo disso, vamos fazer a soma dos lados:

(a + 2) + (a + 1) + a = 
(3 + 2) + (3 + 1) + 3 = 
(5) + (4) + 3 = 
9 + 3 = 
12

A soma dos lados desse triângulo é 12.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos$.$