Question

Determinar as coordenadas do vetor x paralelo ao vetor y=(2,1,-1) sabendo que x.y=3

Answer 1

Se são paralelos, isso implica em encontrarmos uma constante dividindo cada membro:

$\displaystyle \frac{\vec{x}}{\vec{y}} = \frac{(a,b,c)}{(2,1,-1)} \\ \\ \\ \frac{a}{2}= \frac{b}{1} = \frac{c}{-1} \\ \\ \\ \frac{a}{2}=b=-c \\ \\ \\ \boxed{ a = 2b } \\ \\ \boxed{ c=-b }$

Daí temos a premissa:

$\displaystyle \vec{x} \cdot \vec{y} = 3 \\ \\ (a,b,c) \cdot (2,1,-1)=3 \\ \\ 2a+b-c=3$

Substituindo os valores:

$\displaystyle 2a+b-c=3 \\ \\ 2 \cdot 2b + b - (-b) = 3 \\ \\ 4b+b+b=3 \\ \\ 6b=3 \\ \\ b=\frac{1}{2}$

Portanto o restante dos valores é:

$\displaystyle a = 2b \\ \\ a = 2 \cdot \frac{1}{2} \\ \\ a=1 \\ \\ === \\ \\ c=-b \\ \\ c=-\frac{1}{2}$

E o vetor procurado é:

$\displaystyle \vec{x} = \bigg( 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} \bigg)$