Question

as medidas que exprime a diagonal , o lado e a área de um quadrado podem estar , nessa ordem , em P.A ? em caso afirmativo , qual é a razão da P.A ?

Answer 1

Resposta:

Sim é uma PA e r=4-3$\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

PA é representada por Aₙ = A₁ +(n-1)r

Lado do quadrado = L

Diagonal = L$\sqrt{2}$   (Cálculo da hipotenusa do triângulo retângulo)

Área = L²

A sequencia da PA é: ( L$\sqrt{2}$, L, L²)

Temos que achar a razão, se existir:

1) Sabemos que A₂ - A₁ = r  e A₃ - A₂ = r

Igualando as  as expressões temos:

A₂ - A₁ = A₃ - A₂ ⇒ L- L$\sqrt{2}$  = L² - L ⇒ L² - L - L + L$\sqrt{2}$ ⇒ L² -2L +L$\sqrt{2}$

Colocando L em evidência temos: L (L -2 + $\sqrt{2}$) = 0

Duas soluções: L = 0 ou L = 2 - $\sqrt{2}$

Não terminou!!

Usando a expressão da PA temos:  A₂ = A₁ +(n-1)r

Vamos usar o valor de A₂ e A₁ mostrados acima: A₂ = L e A₁ = L$\sqrt{2}$ e n=2

A expressão fica:  L = L$\sqrt{2}$ + (2-1).r ⇒ L = L$\sqrt{2}$ + r ⇒    r = L - L$\sqrt{2}$  

Temos dois valores de L:  (0 e 2-$\sqrt{2}$  )

Para L = 0 temos  r =0 que descartamos, senão a PA seria constante!

Para L = 2-$\sqrt{2}$ temos que:  r = 2-$\sqrt{2}$ - (2-$\sqrt{2}$)$\sqrt{2}$ = 2 - $\sqrt{2}$ - 2$\sqrt{2}$ +2, assim

r = 4 - 3$\sqrt{2}$

Se achamos um r, então existe uma PA para este exercício!!