Question

Prove que existe um múltiplo de 2²⁰⁰⁵, com 2005 dígitos, tal que esses dígitos sejam apenas 2 ou 5.

Por gentileza, respostas com desenvolvimento completo.

Answer 1

Vamos resolver essa questão utilizando indução. Primeiramente, vamos definir como $p_n$ um número de n dígitos formado apenas pelos algarismos 2 e 5 que seja divisível por $2^n$.

Para n=1, encontramos facilmente que $p_1=2$ é o único número divisível por $2^1$.

Agora, vamos considerar que existe um número $p_k$ que atende à definição de $p_n$. Queremos mostrar que, então, existe um número $p_{k+1}$.

Como os algarismos de $p_n$ são apenas 2 ou 5, temos que:

$p_{k+1}=2\cdot10^k+p_k~~~ou~~~p_{k+1}=5\cdot10^k+p_k$

Além disso, sabemos que $2^k\,|\,p_k$, então $p_k$ pode ser escrito como $p_k=2^kq_k$, com $q_k\in\mathbb{N}$. Então:

$p_{k+1}=2\cdot10^k+p_k~~~ou~~~p_{k+1}=5\cdot10^k+p_k\\\\ p_{k+1}=2\cdot(2\cdot5)^k+2^kq_k~~~ou~~~p_{k+1}=5\cdot(2\cdot5)^k+2^kq_k\\\\ \underbrace{p_{k+1}=2^k(2\cdot5^k+q_k)}_{(i)}~~ou~~~\underbrace{p_{k+1}=2^k(5^{k+1}+q_k)}_{(ii)}$

A partir deste ponto, podemos analisar apenas a paridade de $q_k$:

⇒ Se $q_k$ é par, temos que, em (i), $2\cdot5^k+q_k$ representa a soma de dois números pares e, portanto, também é um número par, isto é, é da forma $2m$. Então: 

$p_{k+1}=2^k(2\cdot5^k+q_k)\\\\ p_{k+1}=2^k\cdot2m \\\\p_{k+1}=2^{k+1}m$

Com isso, obtemos $p_{k+1}$ divisível por $2^{k+1}$.

⇒ Se $q_k$ é ímpar, temos que, em (ii), $5^{k+1}+q_k$ representa a soma de dois números ímpares, resultando em um número par, isto é, um número da forma $2m$. Assim:

$p_{k+1}=2^k(5^{k+1}+q_k)\\\\ p_{k+1}=2^k\cdot2m\\\\ p_{k+1}=2^{k+1}m$

Com isso, obtemos $p_{k+1}$ divisível por $2^{k+1}$.

Desse modo, encontramos que, se existe $p_k$, podemos acrescentar um algarismo 2 ou 5 à sua "frente" e obter um número $p_{k+1}$ que atende às definições de $p_n$, o que conclui a indução.

Com isso, temos que é verdade para todos os naturais a partir de n=1, inclusive para o caso citado de $n=2005$.

Answer 2

Vamos lá:

$\begin{gathered}p_{k+1}=2^k(5^{k+1}+q_k)\\\\ p_{k+1}=2^k\cdot2m\\\\ p_{k+1}=\bold{2^{k+1}m}\end{gathered}$