Question

Seja o plano π: x+y-z-2=0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular a área do triângulo ABC.

Answer 1

Olá.

Podemos encontrar esses pontos facilmente, pois:

→ Quando intercepta x, y = z = 0
→ Quando intercepta y, x = z = 0
→ Quando intercepta z, x = y = 0

Assim, façamos y = z = 0 e posteriormente repetiremos os passos para descobrir x, y e z de intercepto nos eixos.

x + y -z = 2
x + 0 - 0 = 2
x = 2   →  A = (2, 0, 0)

x + y -z = 2
0 + y - 0 = 2
y = 2   → B = (0, 2, 0)

x + y - z = 2
0 + 0 - z = 2
z = -2   → C = (0, 0, 2)


Agora calculamos a área desse triângulo, sabendo que ela vale metade da norma do produto vetorial entre AB e AC:

AB = B - A = (0, 2, 0) - (2, 0, 0) = (-2, 2, 0)

AC = (-2, 0, 2) , de modo análogo.

Montamos o determinante:

$\vec{AB}\times\vec{AC}= \left|\begin{array}{ccc}\vec i&\vec j& \vec{k} \\-2&2&0\\-2&0&2\end{array}\right| = 4\vec i + 4 \vec j + 4\vec{k}\\ \\ \\ \\ \|4\vec{i}+4\vec{j}+4\vec{k}\| = \sqrt{4^2+4^2+4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$


Como a área vale metade dessa norma,

$\boxed{A = 2\sqrt{3}\approx 3,46 \ \text{u.a.}}$

Answer 2

Resposta:

Boa tarde, muita boa resolução mas acho que no ponto: z = -2   → C = (0, 0, 2) na verdade era pra ser z = -2   → C = (0, 0, -2)

Explicação passo-a-passo: