Question

No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto P = (2. 1), e a reta t é tangente a C no pontoQ = (–1,5).a) Determine o raio da circunferência C.b) Encontre uma equação para a reta t.c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo Ox.

Answer 1

a) De acordo com a imagem abaixo, o raio da circunferência C é igual a distância entre os pontos P e Q e, assim,

R = $\sqrt{(-1-2)^2 + (5 - 1)^2 } = 5$


b) Sendo $m_{PQ} = \frac{5-1}{-1-2} = - \frac{4}{3}$ , o coeficiente angular da reta suporte do segmento PQ, uma equação da reta t será: 

y - 5 = $\frac{3}{4}$ . (x+1) ⇔ 3x - 4y + 23= 0, pois t passa por Q e é perpendicular ao segmento PQ.


c) Se R($x_{R}$;0) é o ponto de intersecção de t com o eixo x, temos: 3 . $x_{R}$ - 4 . 0 + 23 = 0 ⇔ $x_{R}$ = $\frac{-23}{3}$

Assim, a área S do triângulo PQR é determinada por

$S = \left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\-1&5&1\\ \frac{-23}{3} &0&1\end{array}\right] / 2 = \frac{125}{6}$


As respostas esperadas, pois, são:
a) 5
b) 3x - 4y + 23 = 0
c) 125/6