Question

Determine a área da região compreendida entre a reta y = 2 e a curva y = x2 – 2.

Answer 1

Olá,

Primeiramente vamos descobrir aonde as duas curvas se tocam:

     $\mathsf{f(x)=y=2}$

     $\mathsf{g(x)=x^{2}-2}$

     $\mathsf{f(x)=g(x)}$

     $\mathsf{2=x^2 -2}$

     $\mathsf{x^{2}=4}$

     $\mathsf{|x|=\sqrt{4}}$

     $\mathsf{|x|=2}$

     $\mathsf{x=\pm 2}$


A parábola irá tocar a reta no ponto x' = - 2 e x'' = 2.


Para calcular a área entre as curvas vamos imaginar que existem pequeno retângulos verticais de altura f(x) - g(x) que vão de x = - 2 até x = 2. Logo, a área será:

          $\mathsf{\displaystyle \int_{-2}^{2}\ [2-(x^{2}-2)]\cdot dx}$

     $\mathsf{=\displaystyle \int_{-2}^{2}\ (-x^{2}+4)\cdot dx}$

     $\mathsf{=\left(\dfrac{-x^{3}}{3}+4x\right) \Big|_ {-2}^{\ 2}}$

     $\mathsf{=\dfrac{-2^{3}}{3}+4\cdot 2-\left (\dfrac{-(-2)^3}{3}+4\cdot (-2) \right )}$

     $\mathsf{=-\dfrac{8}{3}+8-\dfrac{8}{3}+8}$

     $\mathsf{=-\dfrac{16}{3}+16}$

     $\mathsf{=\dfrac{32}{3}\ u.a.}$


Bons estudos! =)