Question

Resolva a equação diferencial x.y`+3y=0, usando o fator integrante.

Answer 1

Olá


EDO:

y' + p(x).y = q(x)


Fator integrante:

I = $\mathsf{e^{\int p(x)dx}}$




x.y' + 3y = 0


Para utilizar o fator integrante, o y' deve ter o elemento neutro como coeficiente (1), por tanto, temos que dividir toda a edo por 'x'.


$\displaystyle\mathsf{ \frac{xy'}{x}~+~ \frac{3y}{x} ~=~0}\\\\\\\\\mathsf{ y'~+~ \frac{3y}{x} ~=~0}$



Calculando o fator integrante

$\displaystyle\mathsf{ I=e^{\int p(x)dx}}\\\\\\\mathsf{p(x)~=~ \frac{3}{x} }\\\\\\\\\mathsf{ I=e^{\int \frac{3}{x} dx}}\\\\\\\\\mathsf{I~=~e^{3\ell n x}~=~\boxed{\mathsf{x^3}}}$


Agora, multiplique toda a EDO pelo fator integrante.


$\displaystyle \mathsf{x^3\cdot y'~+~x^3\cdot \frac{3y}{x} ~=~0}\\\\\\\\\mathsf{x^3\cdot y'~+~3x^2y ~=~0}$



Perceba que a primeira parcela da edo, nada mais é que a derivada do produto entre o fator integrante com y: (y.I)'

E como I = x³

Então podemos reescrever a EDO como:

(x³.y)' = 0


Integra dos dois lados


$\displaystyle\mathsf{\int (x^3\cdot y)' ~=~\int 0}$


na primeira integral, a derivada cancela com a ant-derivada, e sobre x³.y.


na segunda integral: ∫0 = 0 + c


Então:


$\displaystyle \mathsf{x^3y~=~C}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{y~=~ \frac{C}{x^3} }}$