Question

me ajudem a responder essas questões
1) log10 x +log10 x =2
2) log2 x + log10 x=2
3) log5 (x-3) + log5 (x+2)= log 5 14

Answer 1

1) log x + log x = 2

2 . log x = 2
log x = 2/2
log x = 1

$10^{1}$ = x

x = 10


2) $log_{_{2}} \ x \ + \ log \ x \ = 2$

Aplicando a mudança de base no primeiro termo:

Mudança para a base 10:

$\frac{log \ x}{log \ 2} \ + \ log \ x \ = \ 2$

Podemos usar a propriedade do quociente no primeiro termo:

log x - log 2 + log x = 2

Aplicando a propriedade do produto, de modo inverso:

log x - log 2 . x = 2
log x - log 2x = 2

Transformando em divisão de log (inverso da regra do quociente):

$\frac{log \ x}{log \ 2x} \ = \ 2$


Fazendo meios pelos extremos:

log x = 2. log 2x


Aplicando a propriedade da potência de forma inversa, temos:

log x = log 2x²

Cancelando as bases:

x = 2x²

2x² - x = 0

Colocando o x em evidência:

x.(2x - 1) = 0

x' = 0

2x - 1 = 0
2x = 1

x" = 1/2

Portanto:

x = 1/2, pois não há logaritmo de zero.


3) $log_{_{5}} \ (x \ - \ 3)  \ + \ log_{_{5}} \ (x \ + \ 2) \ = \ log_{_{5}} \ 14$

Utilizando a propriedade inversa da multiplicação, temos:

$log_{_{5}} \ (x \ - \ 3) \ . \ (x \ + \ 2) \ = \ log_{_{5}} \ 14$

Desenvolvendo a multiplicação:

$log_{_{5}} \ (x^{2} \ + \ 2x \ - \ 3x \ - \ 6) \ = \ log_{_{5}} \ 14$

$log_{_{5}} \ (x^{2} \ - \ x \ - \ 6) \ = \ log_{_{5}} \ 14$

Agora cancelamos os log, pois é uma igualdade e possuem mesma base:

Ficando:

x² - x - 6 = 14
x² - x - 6 - 14 = 0
x² - x - 20 = 0

Aplicando Bhaskara:

Δ = b² - 4.a.c

Tenha:

Δ = D
a = 1
b = -1
c = -20

D = (-1)² - 4.(1).(-20)
D = 1 + 80
D = 81

Encontrando x' e x'':

$x \ = \ \frac{-b \ ^{+}_{-} \ \sqrt{D}}{2.a}$

$x \ = \ \frac{-(-1) \ ^{+}_{-} \ \sqrt{81}}{2.(1)}$

$x \ = \ \frac{1 \ ^{+}_{-} \ 9}{2}$



$x' \ = \ \frac{1 \ + \ 9}{2}$

$x' \ = \ \frac{10}{2}$

x' = 5


$x'' \ = \ \frac{1 \ - \ 9}{2}$

$x'' \ = \ \frac{-8}{2}$

x'' = -4


Logo:

x = 5, pois não há logaritmo de número negativo, uma vez que se substituíssemos o x por -4 o resultado seria um número negativo.